2004－2005学年度上学期
高中学生学科素质训练
高三数学同步测试（14）—《分类讨论思想》
一、选择题（本题每小题5分，共60分）
1．用0，1，2，3四个数字组成没有重复数字的自然数，把这些自然数从小到大排成一数列，则1230是这个数列的 （ ）
A．第30项 B．第32项 C．第33项 D．第34项
2．已知函数f(x) =3 - 2x，g(x) = x2- 2x，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x) = g(x)；当f(x)＜g(x)时，F(x) =f(x)，那么F(x) （ ）
A．有最大值3，最小值-1 B．有最大值3，无最小值
C．有最大值7-2，无最小值 D．无最大值，也无最小值
3．从长度分别为1，2，3，4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则
等于 （ ）
A. 0 B．
C．
D．
4．记二项式（1+2x）n展开式的各项系数和为an，其二项式系数和为bn，则
等于
（ ）
A．1 B．－1 C．0 D．不存在
5．过点
作直线，使其在坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．设函数
，则
的值为 （ ）
A．a B．b
C．a、b中较小的数 D．a、b中较大的数
7．已知点P在定圆O的圆内或圆周上，圆C经过点P且与定圆O相切，则动圆C的圆心轨迹是 （ ）
A．圆或椭圆或双曲线 B．两条射线或圆或抛物线
C．两条射线或圆或椭圆 D．椭圆或双曲线和抛物线
8．若集合A1、A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a1,a2,a3}的不同分拆种数是 （ ）
A.27 B.26 C.9 D.8
9．已知函数
且
，则
等于 （ ）
A．0 B．100 C．-100 D．10200
10．四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个点，则这四个点不共面的概率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．设双曲线的左、右焦点为
、
，左、右顶点为M、N，若
的一个顶点P在双曲
线上，则的内切圆与边的切点的位置是
（ ）
A．在线段MN的内部 B．在线段M的内部或N内部
C．点N或点M D．以上三种情况都有可能
12．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ）
A．210种 B．420种 C．630种 D．840种
二、填空题（本题每小题4分，共16分）
13．定义符号函数
， 则不等式：
的解集是
.
14．已知正
的边长为
，则到三个顶点的距离都为1的平面有_________个.
15．从装有
个球（其中
个白球，
个黑球）的口袋中取出
个球
，共有
种取法。在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，共有
种取法；另一类是取出的个球有
个白球和个黑球，共有
种取法。显然
，即有等式：
成立.试根据上述思想化简下列式子：
.
16．直线
经过点
，它在
轴上的截距等于它在
轴上截距的2倍，求直线的方程。某学生作出了以下解答： 设直线的方程为
， 则
（1）， ∵点
在直线上，∴
（2），解由（1）、（2）组成的方程组，得
，∴直线的方程为
.
判断上述解法是否正确，如不正确，给出你的答案 .
三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知数列
其前
项和为
，且
，当
时，
.
（1）求数列
的通项公式;
（2）若
，求数列
的前项和
.
18．（本小题满分12分）设全集U=R
（1）解关于x的不等式
|
，
若（ ∪A）∩B恰有3个元素，求a的取值范围.
19．（本小题满分12分）设函数f(x)=ax2+8x+3
a＜0
。对于给定的负数a，有一个最大的
正数l(a)，使得在整个区间[0，l(a)]上，不等式f(x)≤5恒成立.
问：a为何值时，l(a)最大？求出这个最大的l(a)，证明你的结论.
20．（本小题满分12分） 求函数
在
上的最大值，其中
21．（本小题满分12分）已知函数
.
（1）将
的图象向右平移两个单位，得到函数
的解析式；
（2）函数
的解析式；
（3）设
的取值范围.
22．（本小题满分14分）已知A（－2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分
别为
和
，且满足·=t (t≠0且t≠－1).
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）当t＜0时，曲线C的两焦点为F1，F2，若曲线C上存在点Q使得∠F1QF2=120°，
求t的取值范围.
参 考 答 案
（十四）
一、选择题（每小题5分，共60分）：
(1).D(2).C (3).B (4).B(5).C(6).C(7).C(8).A (9).B(10).D (11).C (12).B
二、填空题（每小题4分，共16分）
(13). 
； (14).8； (15). 
(16).
三、解答题（共74分，按步骤得分）
17.解：（1）当
=1时，
；当=2时，有
；
当
时，有：
.
故该数列从第2项起为公比q=2的等比数列，
故
（2）由（1）知 
故数列
的前
项和 
18. 解：（1）由
当
时，解集是R；
当
时，解集是
……………………3分
|
时，（ ∪A）=
；
|
时， ∪A=
……………………5分
因
由
…………8分
|
解得
…12分
19. 解 ：f(x)=a·(x+
)2+3－
∵a＜0，∴f(x)max=3－
(i)当3－＞5，即－8＜a＜0时，
l(a)是方程ax2+8x+3=5的较小根，
∴
（ii）当
时，即a≤－8时，l(a)是方程
的较大根，
即l(a)=
=
=
当且仅当a=－8时，等号成立。
由于＞
，因此当且仅当a=－8时，l(a)取最大值.
20.解：求函数
在
上的最大值. ……2分
当
时，显然
在
上为增函数，因而
…4分
下面先考虑
时，函数在
上的单调性.
由
得
于是有
当
时，
此时
为增函数；
当
时，
此时
为减函数. ………6分
接下来，要比较
与的大小：
（1） 当
时，
则在上为增函数，此时
……8分
（2） 当
时，
则
在
上为增函数；
在
上为减函数. 此时
……10分
综合以上可知：当
时，
；
当时；
……………12分
21.解：（1）
……………………2分
（2）设
在
…………………………4分
（3）
…………………………5分
题设矛盾
无最小值：
…8分
……………………12分
22. 解：(1)设点P坐标为(x,y),依题意得
=t
y2=t(x2－4)
+
=1
轨迹C的方程为+=1（x≠
2）.
(2)当－1＜t＜0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，
设
=r1，
= r2, 则r1+ r2=2a=4.
在△F1PF2中，
=2c=4
,
∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，
得4c2=r
+r
－2r1r2
= r+r+ r1r2
= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－(
)2=3a2, ∴16（1+t）≥12, ∴t≥－
.
所以当－≤t＜0时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O
当t＜－1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，
设=r1，= r2，则r1+r2=2a=－4 t,
在△F1PF2中， =2c=4
.
∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，
得4c2=r+r－2r1r2= r+r+ r1r2
= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－()2=3a2, ∴16（－1－t）≥－12tt≤－4. …12分
所以当t≤－4时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O
综上知当t＜0时，曲线上存在点Q使∠AQB=120O的t的取值范围是
.……………………………………14分