2004－2005学年度上学期
高中学生学科素质训练
高三数学同步测试（12）—《函数与方程思想》
一、选择题（本题每小题5分，共60分）
1．设直线
ax+by+c=0的倾斜角为
，且sin+cos=0，则a,b满足
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设P是
的二面角
内一点，
垂足，
则AB的长为 （ ）
A．
B．
C．
D．
3． 若
是等差数列，首项
，则使前n项和
成立的最大自然数n是 （ ）
A．4005 B．4006 C．4007 D．4008
4．每个顶点的棱数均为三条的正多面体共有 （ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
5．设函数
，区间M=[a，b](a<b)，集合N={
}，则使M=N成立的实数对(a，b)有
（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数多个
6．设
是函数
的反函数，若
，则
的值为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为 （ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
8．若函数f(x)=(1－m)x2－2mx－5是偶函数，则f(x) （ ）
A．先增后减 B．先减后增 C．单调递增 D．单调递减
9．定义在（－∞，+∞）上的奇函数f(x)和偶函数g(x)在区间（－∞,0
上的图像关于x轴对称，且f(x)为增函数，则下列各选项中能使不等式f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)成立的是
（ ）
A．a>b>0 B．a<b<0 C．ab>0 D．ab<0
10．△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，∠B=30°,
△ABC的面积为
，那么b= （ ）
A．
B．
C．
D．
11．两个正数a、b的等差中项是5，等比中项是4。若a＞b，则双曲线
的离心率e等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为
元（n∈N*），使用它直至报废最合算（所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少）为止，一共使用了
（ ）
A．800天 B．1000天 C．1200天 D．1400天
二、填空题（本题每小题4分，共16分）
13．若
的展开式中常数项为－20，则自然数n＝
.
14．x0是x的方程ax=logax(0<a<1)的解，则x0,1,a这三个数的大小关系是 .
15．已知函数
互为反函数，又
的图象关于直线
对称，若
___
__;
_______
.
16．已知矩形
的边
平面
现有以下五个数据：
当在
边上存在点
，使
时，则
可以取_____________.（填上一个正确的数据序号即可）
三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知集合A={xx2－ax+a2－19=0}，集合B={xlog2(x2－5x+8)=1}，集合C={xm
=1,m≠0，m≠1}满足A∩B
, A∩C=，求实数a的值.
18．（本小题满分12分）有一组数据
的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据 的算术平均值为11.
（1）求出第一个数
关于
的表达式及第个数
关于的表达式;
（2）若
都是正整数，试求第个数
的最大值，并举出满足题目要求且取
到最大值的一组数据.
19．（本小题满分12分）某公司生产的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售.第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A型商品定价为每件70元，年销售量为11.8万件.第二年，商场开始对该商品征收比率为p%的管理费（即销售100元要征收p元），于是该商品的定价上升为每件
元，预计年销售量将减少p万件.
（1）将第二年商场对该商品征收的管理费y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数
的定义域；
（2）要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管
理费的比率p%的范围是多少？
（3）第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，
则p应为多少？
20．（本小题满分12分）求函数
在[0，2]上的最大值和最小值.
21．（本小题满分12分）已知二次函数f(x)=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：
f(x－1)=f(3－x)且方程f(x)=2x有等根.
（1）求f(x)的解析式；
（2）是否存在实数m,n（m<n），使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n]，如果存在，
求出m,n的值；如果不存在，说明理由.
22．（本小题满分14分）设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.
（1）若首项
，公差
，求满足
的正整数k；
（2）求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有成立.
参 考 答 案
（十二）
一、选择题（每小题5分，共60分）
(1).D (2).C (3).B (4).A (5). A(6).B (7).C (8).B (9).A (10).B (11).C (12).A
二、填空题（每小题4分，共16分）
(13). 3；
(14). 10或10
(15). 
； (16). ①或②
三、解答题（共74分，按步骤得分）
17.解：由条件即可得B={2，3}，C={－4，2}，
由A∩B，A∩C=，可知3∈A，2
A。
将x=3代入集合A的条件得：a2－3a－10=0 ∴a=－2或a=5
当a=－2时，A={xx2+2x－15=0}={－5,3},符合已知条件。
当a=5时,A={xx2－5x+6=0}={2，3}，不符合条件“A∩C”=，故舍去.
综上得：a=－2.
18.解：（1） 依条件得：
由
得：
，又由
得：
（2）由于
是正整数，故 
，
，故
当
=10时, 
，
，
, 此时，
,
,
,
,
,
,
,
.
19. 解：（1）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8－p）万件，
年销售收入为（11.8－p）万元，
则商场该年对该商品征收的总管理费为（11.8－p）p%（万元）.
故所求函数为:y=
（118－10p）p.
11.8－p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜
.
（2）由y≥14，得（118－10p）p≥14.
化简得p2－12p+20≤0，即（p－2）（p－10）≤0，解得2≤p≤10.
故当比率在［2%，10%］内时，商场收取的管理费将不少于14万元.
（3）第二年，当商场收取的管理费不少于14万元时，
厂家的销售收入为g（p）=（11.8－p）（2≤p≤10）.
∵g（p）=（11.8－p）=700（10+
）为减函数，
∴g（p）max=g（2）=700（万元）.
故当比率为2%时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于14万元.
20. 解：
化简为
解得
当
单调增加；当
单调减少.
所以
为函数
的极大值.
又因为 
所以 
为函数在[0，2]上的最小值，为函数
在[0，2]上的最大值.
21.解：(1)∵方程ax2+bx－2x=0有等根，∴△=(b－2)2=0，得b=2。
由f(x－1)=f(3－x)知此函数图像的对称轴方程为x=－
=1，得a=－1，
故f(x)=－x2+2x.
(2)∵f(x)=－(x－1)2+1≤1，∴4n≤1，即n≤
.
而抛物线y=－x2+2x的对称轴为x=1，∴当n≤时，f(x)在[m,n]上为增函数。
若满足题设条件的m,n存在，则
即
又m<n≤.
∴m=－2,n=0，这时，定义域为[－2，0]，值域为[－8，0].
由以上知满足条件的m,n存在,m=－2,n=0.
22. 解：（1）当
时， 
由
，
即 
又
.
（2）设数列{an}的公差为d，则在
中分别取k=1,2,得
|
由（1）得
当
若
成立
若
故所得数列不符合题意.
当
若
若
.
综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：
①{an} : an=0，即0，0，0，…；
②{an} : an=1，即1，1，1，…；
③{an} : an=2n－1，即1，3，5，…，