2004－2005学年度上学期
高中学生学科素质训练
高三数学同步测试（1）—《集合与函数》
一、选择题（本题每小题5分，共60分）
1．设集合
，定义P※Q＝
，则P※Q中元素的个数为
（ ）
A．3 B．4 C．7 D．12
2．设A、B是两个集合，定义
，
R}，则M－N= （ ）
A．[－3，1] B．[－3，0] C．[0，1] D．[－3，0]
3．映射f：A→B，如果满足集合B中的任意一个元素在Ａ中都有原象，则称为“满射”。已知集合A中有4个元素，集合B中有3个元素，那么从A到B的不同满射的个数为（ ）
A．24 B．6 C． 36 D．72
4．若
（ ）
A．关于直线y=x对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．关于原点对称
5．若任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，都有
成立，则称f(x)
是[a，b]上的凸函数。试问：在下列图像中，是凸函数图像的为 （ ）
A B C D
6．若函数f(x)=x－
在（1，+∞）上是增函数，则实数p的取值范围是 （
）
A．［－1,＋∞
B．［1,+∞ Ｃ．
－∞,－1］ Ｄ． －∞,1］
7．设函数
+ b+ c 给出下列四个命题：
①c = 0时，y是奇函数 ②b0 , c >0时，方程0 只有一个实根
③y的图象关于(0 , c)对称 ④方程0至多两个实根
其中正确的命题是 （ ）
A．①、④ B．①、③ C．①、②、③ D．①、②、④
8．函数
的反函数是
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如果命题P:
, 命题Q:
,那么下列结论不正确的是 （
）
A．“P或Q”为真 B．“P且Q”为假
C．“非P”为假 D．“非Q”为假
10．函数y=x2－2x在区间[a，b]上的值域是[－1,3],则点（a，b）的轨迹
是图中的 （ ）
A．线段AB和线段AD B．线段AB和线段CD
C．线段AD和线段BC D．线段AC和线段BD
11．已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
的图象如图所示，则不等式
的解集是 （ ）
A．
B．
C．
D．
12．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度，既可用来洗浴。洗浴时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按4升/分钟2的匀加速度自动注水。当水箱内的水量达到最小值时，放水程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为65升，则该热水器一次至多可供 （ ）
A．3人洗浴 B．4人洗浴 C．5人洗浴 D．6人洗浴
二、填空题（本题每小题4分，共16分）
13．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800 元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税.已知某人出版一本书，共纳税420元时，这个人应得稿费（扣税前）为 元.
14．已知函数
则x0=
.
15．若对于任意a
[－1,1], 函数f(x) = x
+ (a－4)x + 4－2a的值恒大于零, 则x的取值范围是
.
16．如果函数f(x)的定义域为R，对于
是不大于5的正整数，当x>－1时，f(x)>0. 那么具有这种性质的函数f(x)= .（注：填上你认为正确的一个函数即可）
三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：
17．（本小题满分12分）二次函数f（x）满足
且f（0）=1.
(1) 求f（x）的解析式;
(2)
在区间
上,y= f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的范围.
18．（本小题满分12分）已知集合A＝
，B＝
.
（1）当a＝2时，求A
B；
（2）求使B
A的实数a的取值范围.
19．（本小题满分12分）已知命题
：方程
在
上有解；命题
：只有一个实数
满足不等式
若命题
是假命题，求
的取值范围.
20．（本小题满分12分）设函数
(a为实数).
（1）若a<0,用函数单调性定义证明:
在
上是增函数;
（2）若a=0,
的图象与的图象关于直线y=x对称,求函数的解
析式.
21．（本小题满分12分）函数
的定义域为
（
为实数）.
（1）当
时，求函数
的值域；
（2）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围；
（3）函数在
上的最大值及最小值，并求出函数取最值时
的值.
22．（本小题满分14分）对于函数
，若存在实数
，使
成立，则称为
的不动点.
（1）当a=2，b=－2时，求的不动点；
（2）若对于任何实数b，函数恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若
的图象上A、B两点的横坐标是函数的不动点，
且直线
是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围.
参 考 答 案
（一）
一、选择题（每小题5分，共60分）：
(1).D (2).B (3).C (4).C (5).D (6).A (7).C (8).D (9).B (10).A (11). B (12).B
二、填空题（每小题4分，共16分）
(13).3800； (14). 
(15). (-∞‚1)∪(3,+∞) ；(16).x+6或2x+6或3x+6或4x+6或5x+6
三、解答题（共74分，按步骤得分）
17．解： (1)设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x.
即2ax+a+b=2x,所以
,∴f(x)=x2-x+1. ……………6分
(2)由题意得x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立.
设g(x)= x2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=,所以g(x) 在[-1,1]上递减.
故只需g(1)>0,即12-3×1+1-m>0,解得m<-1. ……………12分
18. 解：（1）当a＝2时，A＝（2，7），B＝（4，5）∴ AB＝（4，5）.………4分
（2）∵ B＝（2a，a2＋1），
当a＜
时，A＝（3a＋1，2）
………………………………5分
要使BA，必须
，此时a＝－1；………………………………………7分
当a＝时，A＝
，使BA的a不存在；……………………………………9分
当a＞时，A＝（2，3a＋1）
要使BA，必须
，此时1≤a≤3.……………………………………11分
综上可知，使BA的实数a的取值范围为[1，3]∪{－1}……………………………12分
19．（本小题满分12分）
20．解： (1)设任意实数x1<x2,则f(x1)- f(x2)=
=
=
……………4分
.
又
,∴f(x1)- f(x2)<0,所以f(x)是增函数. ……………7分
(2)当a=0时,y=f(x)=2x-1,∴2x=y+1, ∴x=log2(y+1),
y=g(x)= log2(x+1). ………………………12分
21．解：（1）显然函数
的值域为
； ……………3分
（2）若函数
在定义域上是减函数，则任取
且
都有
成立， 即
只要
即可，
…………………………5分
由
，故
，所以
，
故
的取值范围是
；
…………………………7分
（3）当
时，函数
在
上单调增，无最小值，
当
时取得最大值
；
由（2）得当
时，函数
在
上单调减，无最大值，
当
时取得最小值
；
当
时，函数
在
上单调减，在
上单调增，无最大值，
当
时取得最小值
.
…………………………12分
22．解
（1）当a=2，b=－2时， 
……………………2分
设x为其不动点，即
则
的不动点是－1，2. …………4分
（2）由
得：
. 由已知，此方程有相异二实根，
恒成立，即
即
对任意
恒成立.
……………………8分
（3）设
，
直线是线段AB的垂直平分线， 
……………10分
记AB的中点
由（2）知
……………………12分
化简得：
时，等号成立）.
即
…………………………………………14分