2004－2005学年度上学期

高中学生学科素质训练

高三数学同步测试（4）—《平面向量及复数》

一、选择题（本题每小题5分，共60分）

1．设向量　　　　　　 　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．－　　　　　　　　D．－

2．如果复数（其中为虚数单位，为实数）的实部和虚部是互为相反数，那么 等于　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　 C．2　　　　　　　　　　　　 D．－

3．的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．0　　　　　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　　　C．1　　　　　　　　　　　　 D．

4．若=(2,－3), =(1,－2)，向量满足^,·=1,则的坐标是　　　　　 （ 　 ）

　　A．(3,－2) 　　　　　　B．(3,2) 　　　　　　　C．(－3,－2) 　　　　 D．(－3,2)

5．使为虚数单位）的实数a有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．1个　　　　　　　　　　B．2个　　　　　　　　　 C．3个　　　　　　　　　　 D．4个

6．设e是单位向量，，则四边形ABCD是　　 　　　（　　）

　　　 A．梯形　　　　　　　　　 B．菱形　　　　　　　　　C．矩形　　　　　　　　　　D．正方形

7．已知O、A、B三点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（0，3），点P在线段AB上，且的最大值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．3　　　　　　　　　　　　B．6　　　　　　　　　　　 C．9　　　　　　　　　　　　 D．12

8．已知，与的夹角为，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　A． 　　　　　　　　　　 B．

　　C． 　　D．

9．若为复数，下列结论正确的是　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．若 　　

B．

C．若则为纯虚数　　　　

D．若是正实数，那么一定是非零实数

10．若是纯虚数，则的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　 D．

11．已知△ABC的三个顶点的A、B、C及平面内一点P满足，下列结论中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．P在△ABC内部　　　　　　　　　　　　　　　　B．P在△ABC外部

　　　 C．P在AB边所在直线上　　　　　　　　　　　 D．P是AC边的一个三等分点

12．复数z在复平面上对应的点在单位圆上，则复数　　　　　　　  　　　　（　　）

　　A．是纯虚数　　　　　　　　　　　　　　　　 B．是虚数但不是纯虚数

　　C．是实数　　　　　　　　　　　　　　 D．只能是零

二、填空题（本题每小题4分，共16分）

13．已知复数z满足等式：，则z=　　　　　　　　　 .

14．把函数)y=2x²—4x+5的图象按向量平移后，得到y=2x²的图象，且⊥，

=(1，－1)，·=4，则=_____________。

15．若复数z满足的最小值是___________.

16．i为虚数单位，复数等于___________________．

三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）已知向量.

①若点A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；

②若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.

18．（本小题满分12分）已知向量＝(cosx，sinx)，＝()，且x∈[0，

]．若f (x)＝·－2｜＋｜的最小值是，求的值．

19．（本小题满分12分）已知向量向量与向量夹角为，且.

　 （1）求向量；

　 （2）若向量与向量=（1，0）的夹角为，其中A，C为

△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，试求求+的取值范围.

20．（本小题满分12分）已知为的三个内角，

且.

　 （1）当取得最小值时，求的度数；

　 （2）当时，将函数按向量平移后得到函数，

求向量.

21．（本小题满分12分）．已知A、B、C是△ABC的三个内角，

向量.

　 （1）求证：A·B为定值；

　 （2）求C的最大值.

22．（本小题满分14分）已知向量，，，，且与之

间有关系式：，其中k＞0．

　 （1）试用k表示；

　 （2）求的最小值，并求此时与的夹角的值．

参 考 答 案

（四）

一、选择题（每小题5分，共60分）：

(1).A (2).D (3).C (4). C (5).C (6). B (7). C (8).D (9).D (10).B (11).D (12)C

二、填空题（每小题4分，共16分）

(13). －1，－1－2i　; (14). （3，－1）; (15).　1  ;  (16). -

三、解答题（共74分，按步骤得分）

17．解 ①已知向量

若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线，………………2分

　　　　　　　 …………5分　

故知　　∴实数时，满足的条件…………8分

（若根据点A、B、C能构成三角形，必须AB+BC＞CA…相应给分）

②若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则，

…………10分　解得 …………12分

18．解：a · b……………………2分
　　 a＋b …4分
　　　∴cos x≥0，因此 a＋b ＝2 cos x
　　∴f (x)＝a · b－2｜a＋b｜即…………6分
　　　∴0≤cos x≤1
　　①若＜0，则当且仅当cos x＝0时，f (x)取得最小值－1，这与已知矛盾；…… 8分
　　②若0≤≤1，则当且仅当cos x＝时，f (x)取得最小值，
　　由已知得，解得：　　 ………………10分
　　③若＞1，则当且仅当cos x＝1时，f (x)取得最小值，
　　由已知得，解得：，这与相矛盾．
　　综上所述，为所求．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

19. 解：（1）设，有　① ………（1）

因为，所以，

，，

，．　（2）由（1）

，当且仅当，即时取等号．此时，，，，所以的最小值为，此时与的夹角为

由夹角为，有.

∴②………………3分

由①②解得　∴即或…………4分

　 （2）由垂直知…………5分

由2B=A+C　知……6分

20.解：（1）解：，当最小时，

　　或60°，或90°

 （2）解：，

　　设，，

21.解：解：（理）（1）由=得：，……2分

即：，　　  ……2分

4－B）=5+B），　　　　　　　　　　 ……4分

　　　 ……6分

（2）由（1）得A＞0，＞0，

又C=[－（A+B）]=－（A+B）

=－≤·2……10分

当且仅当A=B。即A=B时，C取得最大的值，此时C=…12分　

22. 解（1）因为，所以，

 ，，……3分

，

．　…………6分

（2）由（1），…………9分

当且仅当，即时取等号．　　　　　　　　 …………10分

此时，，，，

所以的最小值为，此时与的夹角为…………12分