2006年全国普通高等学校招生统一考试

上海　数学试卷（理工农医类）

考生注意：

1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．

2．本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．

一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，则实数＝ 　　　 ．

2．已知圆－4－4＋＝0的圆心是点P，则点P到直线－－1＝0的距离是 　　  ．

3．若函数＝（＞0，且≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则＝ 　　  ．

4．计算：＝ 　　　　　　　  ．

5．若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝ 　　　　　　  ．

6．如果＝，且是第四象限的角，那么＝ 　　　　　　　　  ．

7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 　　　　　　　　　　　　　　 ．

8．在极坐标系中，O是极点，设点A（4，），B（5，－），则△OAB的面积是 　　　　 ．

9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 　　　　　　 （结果用分数表示）．

10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 　　　　　　　  ．

11．若曲线＝＋1与直线＝＋没有公共点，则、分别应满足的条件是 　　　　　　　　 ．

12．三个同学对问题“关于的不等式＋25＋－5≥在[1，12]上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．

乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．

丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．

参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 　　　　 ．

二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．

13．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是　　　　 [答]（　　　）

（A）＝；（B）＋＝；

（C）－＝；（D）＋＝．

14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  [答]（　　　）

（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件．

15．若关于的不等式≤＋4的解集是M，则对任意实常数，总有[答]（　　　）

（A）2∈M，0∈M； （B）2M，0M； （C）2∈M，0M； （D）2M，0∈M．

16．如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（，）是点M的“距离坐标”．已知常数≥0，≥0，给出下列命题：

①若＝＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点

有且仅有1个；

②若＝0，且＋≠0，则“距离坐标”为

（，）的点有且仅有2个；

③若≠0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有4个．

上述命题中，正确命题的个数是　　　　　　　　　　　　　  [答]（　　　）

（A）0； （B）1； （C）2； （D）3．

三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

17．（本题满分12分）

求函数＝2＋的值域和最小正周期．

[解]

18．（本题满分12分）

如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？

[解]

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．

（1）求四棱锥P－ABCD的体积；

（2）若E是PB的中点，求异面直线

DE与PA所成角的大小（结果用反

三角函数值表示）．

[解]（1）

（2）

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．

（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；

（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

[解]（1）

（2）

21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

已知有穷数列共有2项（整数≥2），首项＝2．设该数列的前项和为，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常数＞1．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若＝2，数列满足＝（＝1，2，┅，2），求数列的通项公式；

（3）若（2）中的数列满足不等式－＋－＋┅＋－＋－≤4，求的值．

[解]（1）

（2）

（3）

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）

已知函数＝＋有如下性质：如果常数＞0，那么该函数在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数．

（1）如果函数＝＋（＞0）的值域为6，＋∞，求的值；

（2）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；

（3）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数＝＋（是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

[解]（1）

（2）

（3）