北京市西城区抽样测试高三数学（理科）答案及评分标准

2001.6

一、CCDCB　　ADABA　 AB.

二、（13）（14）（15）36cm；（16）①③②④；②③①④.

三、解答题：其它解法仿此给分.

（17）解：原不等式等价于

设则t>0且

∴

即

∴………………………………………11分

∴原不等式的解集为.……………12分

（18）解：（1）证明∵a+c=2b　∴………………1分

∴…4分

∵

∴…………………………………………6分

（2）解：

…………………………………………9分

………11分

=1…………………………………………………………………12分

（19）解：（1）PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD

故∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角…2分

在Rt△PAD中，PA⊥AD，PA=AD，∴∠PDA=45°………3分

（2）取PD中点E，连结AE，EN，又M，N分别是AB，PC的中点，

∴∴AMNE是平行四边形，

∴MN∥AE…………………………………………………………5分

在等腰Rt△PAD中，AE是斜边的中线，

∴AE⊥PD

又CD⊥AD，CD⊥PD  ∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥AE，又PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD…………………7分

∴MN⊥平面PCD

∴平面MND⊥平面PCD……………………………………………8分

（3）∵AD∥BC，

所以∠PCB为异面直线PC，AD所成的角………………………9分

由三垂线定理知PB⊥BC，设AB=x(x>0)

∴…………………………10分

∴………………………………11分

又∠PCB为锐角，∴

即异面直线PC，AD所成的角的范围为……………12分

（20）解：（1）椭圆的两个焦点坐标是离心率……3分

由可知双曲线的离心率……………………4分

∴………………………………5分

故双曲线的方程为……………………6分

（2）∵圆D经过双曲线的两个焦点，∴圆心D在直线x= –2上……7分

设圆D的方程为………………8分

整理得：

令y=0，得……………………………………9分

设圆D与x轴的两个交点为（），（），则

依题意=

即16–4（2b–22）=64，解得b=5……………………………………12分

所以圆的方程为……………………………13分

（21）解：依题意，价格上涨x%后，销售总金额为：

……………………………………………2分

………………………………4分

（1）取

∴x=50即商品价格上涨50%时，y最大为……………………7分

（2）因为

此二次函数开口向下，对称轴为……………………………9分

在适当涨价过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在{xx>0}的一个子集内增大时，y也增大。

所在，解之0<k<1……………………………………………………12分

（22）解：依题意……①

……②……………………………………………………2分

（I）∵，∴由②式得

从而时，

代入①，∴………………4分

∴是等差数列。……………………………………………………… 5分

（II）因为是等差数列∴

∴……………………………………8分

（III）由及①②两式易得

∴中公差

∴……………………………………10分

∴………………③

又也适合③、∴………………11分

∴

∴

∴………………………………………………………………13分