北京市海淀区高三数学第二学期期中练习参考答案与评分标准（理科）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2001.5

一、选择题：

（1）C；（2）D；（3）A；（4）A；（5）C；（6）B；

（7）C；（8）C；（9）B；（10）C；（11）D；（12）D.

二、填空题：

（13）12；（14）（15）x∈（0，2]；（16）中选一即可

三、解答题：

（17）解：（Ⅰ）设z=x + yi（x，y∈R）

依题意，

∴…………………………………………3分

故

∴

∴x=±1，　　　　　　　　　　　　　　

∴

∴z=1+i或z= –1–i………………………………………………5分

∴……………7分

（Ⅱ）当z=1+i时，

∴A（1，1）、B（0，2）、C（1，–1）

∴AC=2

………………………………………………10分

当z=–1–i时，

A（–1，–1）、B（0，2）、C（–1，–3）

则

综上△ABC的面积为1.…………………………………………12分

（18）解：（Ⅰ）∵△ABC是正三角形，AF是BC边的中线

∴AF⊥BC

又D、E分别是AB、AC的中点

∴BE

∴AF⊥DE，AF∩DE=G……………………2分

∴⊥DE，GF⊥DE

∴DE⊥平面…………………………4分

又DE

∴平面⊥平面BCED……………6分

（Ⅱ）∵⊥DE，GF⊥DE

∴∠是二面角A′–DE–B的平面角……………………7分

∵平面∩平面BCED=AF

作⊥AG于H

∴⊥平面BCED………………………………………………9分

假设⊥BD，连EH并延长交AD于Q

∴EQ⊥AD……………………………………………………………10分

∵AG⊥DE

∴H是正三角形ADE的垂心，也是中心.

∵AD=DE=AE=

∴

在Rt△中，

∵∠=π–∠GH

∴

∴时…………………………………………11分

即当……………………………12分

（19）解：（Ⅰ）∵当n≥2时，成等差数列

∴

∴………………………………………………2分

∴∵，∴

类似地∴

∴ ……………………………4分

（Ⅱ）∵当≥2时，，即

∴

②–①，得

∴为常数………………………………………………6分

∴，，，…，，…成等比数列.

其中………………………………………………7分

故

∴…………………………………………9分

（Ⅲ）∵

=

∴

=………………………………12分

（20）解：（Ⅰ）由已知数据，易知函数y=f（t）的周期T=12 ……………………1分

振幅A=3………………………………………………………………2分

b=10……………………………………………………………………3分

∴……………………………………………………4分

（Ⅱ）由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（米）

∴…………………………………………………6分

∴

解得，…………………………8分

　　　

在同一天内，取k=0或1

∴1≤t≤5或13≤t≤17………………………………………………10分

∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时

…………………………………………………………………………12分

（21）解：（Ⅰ）∵y=f（x）是以5为周期的周期函数

　∴f（4）=f（4–5）=f（–1）……………………………………………1分

又y=f（x），（–1≤x≤1）是奇函数

∴f（1）= –f（–1）= –f（4）

∴f（1）+f（4）=0…………………………………………………3分

（Ⅱ）当x∈[1，4]时，由题意，可设

f（x）= （a≠0）……………………………………………………5分

由f（1）+f（4）=0

得

解得a=2

∴（1≤x≤4）…………………………………………7分

（Ⅲ）∵y=f（x）　　（–1≤x≤1）是奇函数

∴f（0）= –f（–0） ∴f（0）=0………………………………………………8分

又y=f（x）　 （0≤x≤1 ）是一次函数

∴可设f（x）=kx　 （0≤x≤1）

∵

又f（1）=k·1=k

∴ k=–3

∴当0≤x≤1时 f（x）=–3x……………………………………………………9分

当–1≤x<0时，0<–x≤1

∴f（x）= –f（–x）= –3x

∴当–1≤x≤1时，f（x）=–3x………………………………………………11分

当4≤x≤6时，–1≤x–5≤1

∴f（x）=f（x–5）=–3（x–5）=–3x+15

当6<x≤9时　1<x–5≤4

∴f（x）=…………………………………………12分

（22）解：（Ⅰ）∵，且圆D与圆C外切（O为原点）.

∴圆D半径r=5–2=3

此时，A、B坐标分别为（0，0）、（0，6）

PA在x轴上，BP斜率k=2

∴tg∠APB=2…………………………3分

（Ⅱ）设D点坐标为（0，a），圆D半径为r，则

A、B坐标分别为（0，a–r）、（0，a+r）设PA、PB斜率分别为，，则

…………………………………………………6分

由①解出代入②，得，而8r–6为单调增函数，.

∴

∠APB的最大值为；……………………………………9分

（Ⅲ）假设存在Q点，设Q（b，0），QA、QB斜率分别为，，则

……………………11分

将代入上式，得

欲使∠AQB大小与r无关，当且仅当，即，

此时

∴存在Q点，当圆D变动时，∠AQB为定值，Q点坐标为（）

…………………………………………………………………………………………14分

注：其他正确解法可按相应步骤给分