北京市海淀区高三数学第二学期期末练习参考答案与评分标准
2001.6
一、选择题：
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | A | B | B | A | A | C | C | D | B | D | D | A |
二、填空题：
（13）
；（14）
；（15）x = 0或15x + 8y – 32 = 0（写出一个方程给2分）；（16）4.
三、解答题：
（17）解：原不等式等价于
…………………………………………………3分
即
当a > 1时，
解得–1< x < 0；…………………………………………………………………………7分
当0 < a < 1时，
解得–2 < x <–1.………………………………………………………………………11分
所以当a > 1时原不等式的解集为
；
当0 < a < 1时原不等式的解集为
.……………………………12分
（18）
（理科）
解：由已知得：
∴
.……………………………………………………3分
由正弦定理得a sinB = b sinA,
∴a cosA = b cosB.
又由正弦定理得2RsinA=a，2RsinB=b,
∴2RsinAcosA=2RsinBcosB,……………………………………………………………8分
即sin2A=sin2B
由已知A、B为三角形内角且A≠B,
∴2A+2B=180°.
即A+B=90°.
∴△ABC为直角三角形.……………………………………………………………12分
（文科）
解：（Ⅰ）由已知得
，
∴b=1.……………………………………………………………………………3分
由余弦定理
∴a=3.……………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由正弦定理得2RsinA=a，2RsinB=b，
∴2RsinAcosA=2RsinBcosB，……………………………………………………9分
即sin2A=sin2B.
由已知A、B为三角形内角，
∴A+B=90°或A=B，
∴△ABC为直角三角形或等腰三角形.………………………………………12分
（19）
解：（Ⅰ）由已知PA⊥平面ABC，PA=AC=1，
∴△PAC为等腰直角三角形，且PC=CB=
，
在Rt△PAB中∠PBA=30°，
∴PB=2，
∴△PCB为等腰直角三角形.
∵PA⊥平面ABC，PC⊥BC，
∴AC⊥BC，又
，
∴BC⊥平面PAC，
∵
平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAC.…………………………………………………4分
（Ⅱ）三个侧面及底面都是直角三角形，求得侧面PAC面积值为
，侧面PAB面积值为
，侧面PCB面积值为1，底面积值为
.
三个侧面面积的算术平均数为
.…………………………………7分
∵
,
其中
，
∴三个侧面面积的算术平均数大于底面积的数值.……………………8分
（Ⅲ）如图，过M作MD⊥AC，垂足为D.
∵平面PAC⊥平面ABC且相交于AC，
∴MD⊥平面PAC.
过D作DE⊥PC，垂足为E，连结ME，则DE是ME在平面PBC上的射影，
∵DE⊥PC，∴ME⊥PC，ME的长度即是M到PC的距离.
在Rt△ABC中，MD∥BC，MD=BC=，在等腰Rt△PAC中，DE=DCsin45°=
∴ME=
，即点M到PC的距离为
.…12分
（20）
解：（1）定义域为
，……………………2分
值域为
.……………4分
（2）如图：…………………………………8分
（3）n为偶数时：
，……………10分
n为奇数时：
，……………12分
（21）
解：（1）由已知得已知双曲线的离心率为
，解得
，所以已知双曲线方程为
，它的渐近线
、
的方程为
.…………3分
（2）因为
，所以AB=10.
设A在上，B在上，则可以设A
、B
，
∴
①…………………………………………5分
设：AB的中点M（x，y），则
.
∴
，………………………………………………9分
代入①得
，
即
为中点M的轨迹过程，
轨迹为椭圆.…………………………………………………………………12分
（22）
解：原函数可化为：
……………………………………………………2分
(Ⅰ) y = 1时，可求得
，即
，
∴
是以为首项，为公比的等比数列.
∴
.………………………………7分
（Ⅱ）同理可以求
、
的横坐标，可得、的坐标分别为
.因此
.
因此中点C到y轴距离
,
∴以C为圆点、为直径的圆必与定直线y轴相切，这条定直线的方程为x=0.由点C的纵坐标为0，可知从点C到y轴作垂线的垂足就是原点即切点，所以切点坐标为（0，0）.………………………………………………………………………………………14分
（说明：囿于篇幅，本答案只给出一种解法，其他解法可相应给分.）