北京市海淀区高三数学(文科)第二学期期中练习参考答案与评分标准
2001.5
一、选择题:
(1)C; (2)D; (3)B; (4)C; (5)A; (6)B;
(7)C; (8)C; (9)B; (10)C; (11)D; (12)D.
二、填空题:
(13)12;
(14) (15)
; (16)
(写出一个即可)
三、解答题:
(17)解(I):设z=a+bi (a,) ∴
………………………………1分
由已知,有,可解出
或
∴或
………………………………………………………………………3分
∴,
………………………………………………………………………5分
∴或
……………………………………7分
(Ⅱ):当时,可得
,
∴A(1,1),B(0,2),C(1,–1)
∴………………………………………………………………………10分
∴当时,可得
,
∴A(–1,–1),B(0,2),C(–1,–3)
∴
综上的面积为1.………………………………………………………………………12分
|

∴AF⊥BC.
∵D、E分别是AB、AC的中点,
∴DE∥BC, ∴AF⊥DE.
又AF∩DE=G,
∴⊥DE,FG⊥DE,又
∩FG=G,
∴DE⊥平面.……………………4分
又DE平面DECB,
∴平面⊥平面DECB.…………6分
(Ⅱ)解:∵⊥DE,GF⊥DE,
∴∠是二面角
的平面角.
………………………………………7分
∵平面⊥平面BCED,作
⊥AG于O,
∴⊥平面BCED.
设,连结EO并延长交AD于H,
∴EH⊥AD.
∵AG⊥DE,.
∴O是正三角形ADE的垂心也是中心.
∵AD=DE=AE=,
∴,
.
在中,
.
∵,
∴.
即当的余弦值为
时,
与BD互相垂直.…………………12分
(19)解(I):∵当时,
,
,
成等差数列,
∴,………………………………………………1分
∴(
).
由,可得
,∴
.………………………………2分
同理,可求出,
.…………………………………………4分
(Ⅱ):当时,∵
①,
∴②,
②–①得
.
∴为常数,……………………………………………………6分
∴,
,
,…,
,…成等比数列,其中首项
,
.…
…………………………………………………………………………7分
∴通项.……9分
(Ⅲ):∵
∴
= …………………………………………12分
(20)解(I):∵是以5为周期的周期函数,
∴.
∵函数 (
)是奇函数,
∴.
∴.……………………………………………………………6分
(Ⅱ):当时,由题意,可设
(
),
由,得
,
∴.
∴ (
). ……………………………………12分
(21)解(I):由已知数据,易知的周期T=12,
………………………………1分
∴.
由已知,振幅A=3,b=10,………………………………………………………3分
∴.…………………………………………………………………4分
(Ⅱ):由题意,该船进出港时,水深应不小于(米),
∴.………………………………………………………………6分
即.
解得, (
),
∴ (
) .………………………………………………8分
在同一天内,取或1,∴
或
. …………………………10分
答:该船可在当日凌晨1时进港,17时离港,它在港内至多停留16小时 。
………………………………………………………………………………………12分
(22)解(I):∵,又圆D与圆C外切(O为原点),
∴圆D半径.……………………………………………………2分
此时,A、B坐标分别为(0,0),(0,6).
又PA在x轴上,PB斜率k=2,
∴.………………………………………………………………5分
(Ⅱ):设D点坐标为(0,a),圆D的半径为r,则①……6分
∴A、B两点坐标为,
.
设PA、PB的斜率分别为、
,
∴,
.………………………………………………8分
∴②
由①得代入②,得
.
而为单调增函数……………………………………………………10分
由圆D与圆C外切,知,………………………………………12分
∴取值范围是
即的最大值是
.………………………………………………14分
注:其它正确解法可按相应步骤给分.