65． 计算及其应用（1）

一、典型例题

1．  如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁的侧面和底面边长都是a，截面AB₁C和截面A₁BC₁相交于DE，求三棱锥B－B₁DE的体积。[]

2．  在边长为5＋的正方形ABCD内，以A为圆心画一个扇形，再画一个⊙O，它在与BC、CD相切，切点为M、N，又与扇形的圆弧EF相切于K点，把扇形围成圆锥的侧面，⊙O为圆锥的底面，求这个圆锥的体积。[]

3．  如图，已知在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝BC，D为AB的中点，平面A₁B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，异面直线BC₁与AB₁互相垂直，①求证：AB₁⊥平面A₁CD；②若CC₁与平面ABB₁A₁的距离为1，A₁C＝，AB₁＝5，求三棱锥的体积。[5/3]

4．  直平行六面体，底面两邻边之和为a，底面的锐角为30°，侧面积为S，①求体积的最大值；②当体积最大时，底面是什么形状？[aS/16、菱形]

5．  已知三棱锥A－BCD的体积是V，棱长BC＝a，面ABC与面DBC的面积分别是S₁和S₂，设面ABC和面DBC所成的二面角是a，求sina。[]

6．  三棱锥S－ABC中，各棱长都是2a，棱SA、SB、SC和AB的中点分别为D、E、F和G，①求证：平面DEF⊥平面EFG；②求V_G－DEF。[]

7．  已知三棱锥P－ABC中，PA＝a,PB=b,PC=c,侧棱PA、PB、PC上各点A₁，B₁，C₁且PA₁＝a₁,PB₁=b₁,PC₁=c₁,求证：。