第三届北京高中数学知识应用竞赛试题

1、（满分15分）《中华人民共和国个人所得税法》第十四条中有下表：

个人所得税税率表一（工资、薪金所得适用）

目前，上表中“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减去1000元后的余额。例如某人月工资、薪金收入1220元，减除1000元，应纳税所得额就是220元，应缴纳个人所得税11元。

（1）请写出月工资、薪金的个人所得y关于收入额x（0<x 8000）的函数表达式，并画出函数示意图；

（2）一公司职员某月缴纳个人所提税265元，问他该月工资、薪金的收入多少？

2．（满分15分）一个能度量200cm³的圆锥形量杯，顶角为30⁰，一条母线上标有刻度。请算出表示100cm³,200cm³的刻度线到圆锥点的距离。精确到0.1cm.

(参考数据：sin15⁰=0.2588)

3．（满分15分）王教授欲从北京出发，前往智利的圣地亚哥参加国际学术会议。假如只有两种旅行方案供选择：

甲方案：从北京出发飞往美国纽约，再从纽约飞往圣地亚哥。

乙方案：从北京出发飞往澳大利亚的弗里曼特尔，再从弗里曼特尔飞往圣地亚哥。

为简单起见，我们把北京 的地理位置粗略地认为是：东经120度，北纬40度；纽约的地理位置大致是：西经70度，北纬40度；澳大利亚的弗里曼特尔的地理位置大致位置是：东经120度，南纬30度：智利的圣地亚哥的地理位置大致是：西经70度，南纬30度。假设飞行航线走的都是球面距离，请你比较这两种方案哪一个飞行距离更短些？说明理由。

4、（满分15分）用车床加工某种圆柱形零件，是在圆柱形零件的轴旋转和车刀直线运动的过程中切削完成的。我们把零件放置一周车刀沿零件轴线所移动的距离称走刀量，把刀刃切削零件的深度称为吃刀深度。现在要把长800mm，直径为10mm的轴的一端加工成长为400mm，直径为8mm的轴，如图所示。

已知走刀量是0.1mm，吃刀深度是0.2mm，轴的转速是每分钟800转；工人从车床上卸下一根加工好的轴，再装上一根待加工的轴需要10秒钟；每位工人每天的有效工作时间是7.55小时。

某车间有12台车床，24名工人，现要在5天内完成加工1980个这种零件。如果加工零件过程中其余操作时间忽略不计，请你提供一个能够按时完成任务的生产方案，并说明理由。

5、（满分20分）某县地处水乡，县政府原计划从今年起填湖围造一部分生产用地。但根据前几年抗洪救灾的经验教训和环境保护、生态平衡的要求，准备重新研究修改计划。为了寻求合理的计划方案，需要研究以下问题：

（1）　　　　　　　  若按原计划填湖造地，水面的减少必然导致蓄水能力的下降。为了保证防洪能力不会下降，除了填湖费用外，还需要增加排水设备费用，所需要经费与当年所填湖造地的面积x（亩）的平方成正比，其比例系数为a。又知每亩水面的年平均经济收益为b元。填湖造地后的每亩土地的年平均收益为c元（其中a，b，c均为常数）。若按原计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x的最大值。

（2）　　　　　　　  如果以每年1%的速度减少填湖造地的新增面积，并为保证水面的蓄洪能力和环保要求，填湖造地的总面积永远不能超过现有水面面积的1/4，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几？

6、（满分20分）一摩托车骑手欲飞跃黄河，设计摩托车沿跑道飞出时前进方向与水平方向的仰角是12⁰，飞跃的水平距离是35米。为了安全，摩托车最高点与落地点的垂直落差约为10米。那么，骑手沿跑道飞出时的速度应为多少？

（参考数据：sin12⁰=0.2079,cos12⁰=0.9781,tg12⁰=0.2125）