高三数学模拟考试试题（三）

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湖北省黄冈市高三数学模拟考试试题（三）

　

2002.6

说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题  共60分)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.函数y=3sin()的周期、振幅依次是

A.4π，3　　　　　　B.4π，-3 　　　　　　C.π，3　　　　　　　D.π，-3

2.A，B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且PA=PB，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程为

A.2x-y-1=0　　　　　　　　　　　　　　　B.x+y-5=0

C.2x+y-7=0　　　　　　　　　　　　　　　D.2y-x-4=0

3.已知集合A={1，2，3}，B={-1，0，1}，满足条件f(3)=f(1)+f(2)的映射f:A→B的个数是

A.2　　　　　　　　　B.4　　　　　　　　 C.6　　　　　　　　 D.7

4.若直线a⊥b，且a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是

A.bα　　 

B.b∥α

C.bα或b∥α

D.b与α相交或b∥α或bα都有可能

5.函数y=tgx·cosx(0≤x＜，且x≠的图象是

6.(理)在极坐标系中，圆锥曲线ρsin2θ=4cosθ绕极点逆时针旋转所得曲线的极坐标方程是

A.ρcos2θ=4sinθ　　　　　　　　 B.ρcos2θ=-4sinθ

C.ρcos2θ=8sinθ　　　　　　　　 D.ρsin2θ=-4cosθ

(文)直线x+7y=10把圆x2+y2=4分成两段弧，则这两段弧长之差的绝对值为

A.π　　　　　　  B.π　　　　  C. 　　　　　　　　 D.2π

7.已知奇函数f(x)，g(x)，f(x)＞0的解集为（a2，b)，g(x)＞0的解集为（)，则f(x)g(x)＞0的解集是

A.（)

B.(-b2，-a2)

C.(a2，

D.( )∪(-b2，-a2)

8.等比数列{an}中，a1+a2+a3=16，a1+a2+…+a6=14，Sn=a1+a­2+…+an，则 =

A. 　　　　　 B.　　　　　　 C.128　　　　　　　 D.32

9.已知圆柱的上下两底面圆都在球面上，底面一条直径的两个端点间的球面距离是球大圆周长的，圆柱的母线长为l，则这个球的半径长为

A.l　　　　　　B.l　　　　　　　　C. l　　　　　　 D.2l

10.已知双曲线的左支上有一点M到右焦点F1的距离为18，N是MF1的中点，O为坐标原点，则ON等于

A.4　　　　　　　　　B.2　　　　　　　　C.1  　　　　　　　 D.

11.函数f1(x)=的图象分别是点集C1，C2，C3，C4，这些图象关于直线x=0的对称曲线分别是点集D1，D2，D3，D4，现给出下列四个命题：

①D1D2;②D1∪D3=D2∪D4;③D4D3;④D1∩D3=D2∩D4.

其中，正确命题的序号是

A.①，③　　　　　　　　B.①，②　　　　　 C.③，④　　　　　　D.②，④

12.（理）设n满足C+C+2C+…+nC＜450的最大自然数，则n等于

A.4　　　　　　　　　　 B.5　　　　　　　 C.7　　　　　　　　D.6

（文）设S= C+C+2C+…+nC，则S等于

A.n·2n-1　　　　　　　B.n·2n-1-1　　　C.n2n-1+1　　　　　　D.n2n

第Ⅱ卷(非选择题  共90分)

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将答案填写在题中横线上）

13.某邮局现只有邮票0.6元，0.8元，1.1元的三种面值邮票，现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴的邮票张数最少，且资费恰为7.50元，则至少要购买_______张邮票.

14.抛物线的准线为y轴，焦点运动的轨迹为y2-4x2+8y=0(y≠0)，则其顶点运动的轨迹方程为_______.

15.关于复数z=cos］有下列命题：

①若z=，则α=2π;

②将复数z在复平面内对应的向量逆时针旋转90°得到向量，则对应的复数是-sin］;

③复数z在复平面内对应的轨迹是单位圆；

④复数z2的辐角主值是α.

其中，正确命题的序号是_______.

（把你认为正确的命题的序号都填上）.

16.如图，在正方形ABCD—A1B1C1D1中，选出两条棱和两条面的对角线，使这四条线段所在的直线两两都是异面直线，如果我们选定一条面的对角线AB1，那么另外三条线段可以是_______（只需写出一种情况即可）.

三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

已知函数f(x)=2acos2x+bsinxcosx，且f(0)=2，f(.

(Ⅰ)求f(x)的最大值与最小值.

(Ⅱ)若α-β≠kπ，k∈Z，且f(α)=f(β)，求tan(α+β)的值.

18.（本小题满分12分）

已知数列{an}为等差数列，公差为d，{bn}为等比数列，公式为q，且d=q=2，b3+1=a10=5，设cn=anbn.

(Ⅰ)求数列{cn}的通项公式；

(Ⅱ)设数列{cn}的前n项和为Sn，求的值.

19.（本小题满分12分）

如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CE的中点.

（Ⅰ）求证：BF⊥平面CDE；

（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积；

（Ⅲ）(理）求平面BCE和平面ACD所成的锐二面角的大小.

20.（本小题满分12分）

某商场以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的相同价格出售.销售有淡季与旺季之分.标价越高，购买人数越少.我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格，市场调查发现：

①购买人数是羊毛衫标价的一次函数；

②旺季的最高价格是淡季最高价格的倍；

③旺季商场以140元/件价格销售时，商场能获取最大利润.

问：在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为多少？

21.（本小题满分12分）

如图，A，B是两个定点，且AB=2，动点M到A点的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，直线k垂直于直线AB，且B点到直线k的距离为3.

（Ⅰ）求证：点P到点B的距离与点P到直线k的距离之比为定值；

（Ⅱ）（理）若P点到A，B两点的距离之积为m，当m取最大值时，求P点的坐标；

（Ⅲ）若PA-PB=1，求cosAPB的值.

22.（本小题满分14分）

定义在（-1，1）上的函数f(x)满足：（Ⅰ)对任意x，y∈(-1，1)都有f(x)+f(y)=f();(Ⅱ)当x∈(-1，0)时，有f(x)＞0.

(Ⅰ)判定f(x)在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由.

（Ⅱ）判定f(x)在(-1，0)上的单调性，并给出证明.

（Ⅲ）(理）求证：

（文）求证：

湖北省黄冈市高三数学模拟考试试题（三）答案

一、1.A　2.B  3.D　4.D　5.C  6.(理)A  (文)B  7.C　8.B　9.A  10.A　11.D　12.C

二、13.8　14.y2-16x2+8y=0(y≠0)　15.①②

16.BC1，CD，A1D1或CC1，BD，A1D1或BC，C1D1，A1D或BC，DD1，A1C1(任选填一种)

三、17.解：(Ⅰ)由f(0)=2a=2,∴a=1,f(∴b=2

∴f(x)=2cos2x+2sinxcosx=sin2x+cos2x+1=

∴f(x)最大值为+1，最小值为1-.6分

(Ⅱ)若f(α)=f(β),则sin(2α+)=sin(2β+),

∴2α+=2kπ+2β+或2α+=2kπ+π-(2β+),即α-β=kπ(舍去)或α+β=

kπ+,k∈Z,

∴tan(α+β)=tan(kπ+)=1. 12分

18.解：(Ⅰ)由已知，有解得b1=1,a1=-13. 2分

从而an=-13+(n-1)·2=2n-15,bn=1×2n-1=2n-1,

cn=anbn=(2n-15)2n-1　 5分

(Ⅱ)∵Sn=a1b1+a2b2+…+anbn, ①

∴aSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1. ②7分

①-②得(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+…+bn)-anbn+1=a1b1+d·-anbn+1

=-13+2·-(2n-15)·2n=-［(2n-17)·2n+17］,

∴Sn=(2n-17)·2n+17.10分

∴

19.解：(Ⅰ)取CD中点G，连AG，FG，则有FG　AB　.

∴AG　BF,又△ACD为正三角形，

∴AG⊥CD，又DE⊥平面ACD，

∴FG⊥平面ACD.

∴FG⊥AG.∴AG⊥平面CDE

∴BF⊥平面CED.4分

(Ⅱ)VABCDE=VB—ACD+VB—CDE=

(Ⅲ)由(1)知AB　DE,延长DA，EB交于P，连PC，则可证得A，B分别为PD，

PE中点，∴PC∥BF∥AG，

∴PC⊥平面CDE，∴∠DCE为平面BCE和平面ACD所成二面角的平面角，又∠DCE=45°,即所成锐二面角为45°.12分

20.解：设羊毛衫出售价格为x元/件，购买人数为y人，最高价格为x0,则存在

a,b使y=ax+b.

由条件知：a＜0且0=ax0+b

∴x0=-.因此y=a(x-x0)=-a(x0-x),商场利润s=y(x-100)=-a(x0-x)(x-100)≤-a(

当且仅当x0-x=x-100,即x=50+时“=”成立. 6分

因此商场定价x=50+时能获最大利润，设旺、淡季的最高价格分别为a,b.淡季能获最大利润的价格为c，则140=50+,a=180, 9分

∴b=a=120.∴c=50+=110(元/件)12分

21.(Ⅰ)证明：以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，则点A，B的坐标分别为(-1，0)，(1，0).

∵l为MB的垂直平分线，

∴PM=PB，PA+PB=PA+PM=MA=4.

∴P点的轨迹是以A，B为两个焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为

根据椭圆的定义可知，点P到点B的距离与点P到直线k:x=4(恰为椭圆的右准线)的距离之比为离心率e=.4分

(Ⅱ)解：m=PA·PB≤(=4,

当且仅当PA=PB时，m最大，这时P点的坐标为(0，)或(0，-).8分

(Ⅲ)解：由PA-PB=1及PA+PB=4，得

PA=，PB=.

又AB=2，所以△APB为直角三角形，∠ABP=90°.故cosAPB=.

22.解：(Ⅰ)x,y∈(-1,1).

f(x)+f(y)=f(),

令x=y=0,得f(0)=0.

令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,

∴f(-x)=-f(x)

∴f(x)在(-1，1)上是奇函数.4分

(Ⅱ)设-1＜x1＜x2＜0,则

f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(),

∵x1-x2＜0,1-x1x2＞0,

∴-1＜＜0.

x∈(-1,0)时f(x)＞0

∴f(x1)-f(x2)＞0,从而f(x)在(-1，0)上是单调减函数. 8分

(Ⅲ)(理)∵f()