数学能力专题训练（分类与划分的思想）

要点：1.分类与划分的思想：就是解题中对于那些结论必须以分段形式叙述, 所研究的对象的全体不宜用同一方法处理的问题，采用化整为零,各个击破的方法使问题获解.

 2.分类的原则:①不重复,②不遗漏.

 3.分类的标准: ①根据概念进行分类.如90年高考试题:解方程:z² +2=a (a≥0) (z∈c)就是由复数定义,对z分类讨论.②根据运算分类.如2000年高考第19题:设f(x)= -ax　(a>0). ⑴解不等式f (x)≤1, ⑵a的取值范围,使函数f (x)在上是单调函数.③根据性质分类.④根据图形形状及位置分类,如99年高考试题中的压轴题.

能力训练:　

一、　　　　　　 选择题:

1. 若a>0,且a≠1,p=log_a(a³+a+1),q=log_a(a²+a+1) 则p与q的大小关系是（　）　　　

 (A)p<q　　 (B)p=q　　(C)p>q　　 (D)a>1时,p>q;0<a<1时,p<q

 2.在等比数列{a_n}中,a₁=1,公比为q,前n项和S_n ,若S=lim S_{n ,}

则S的范围是 (　　)

 (A) (-1,)　　　　　　　　　 (B)(-∞,-1)∪(,+∞)

(C) (-1,0)∪(0,)　　　　　  (D) 以上都不对

 3.若f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则

{x∣f(x)·x<0}等于(　 )

(A)(-3,0)∪(3,+∞)　　　　　　　　 (B) (-∞,-3)∪(0,3)

 (C) (-∞,-3)∪(3,+∞)　　　　　　  (D) (-3,0)∪(0,3)

 4.在平面直角坐标系中,由六个点O(0,0)、A(1,2)、B(-1,-2)、C(2,4)、

D(-2,-1)、E(2,1)可以确定不同的三角形共有 (　 )

  (A)14个　　  (B)15个　　　(C)16个　　　 (D)20个

 5.已知z∈C,方程z²-3+2=0的解的个数是　(　　)

(A)2　　　　  (B)4　　　　 (C)6　　　　　 (D)8

 6.不等式(k²-1)x²+2(k+1)x+1>0对x∈R恒成立,则实数k的取值范围为(　)

  (A)(-∞,-1)　 (B)(-∞,-1)　  (C)[-1,+∞]　　  (D)(-1,1)

 7.若θ∈(0,  ),则的值为　 (　　)

 (A)-1或1　 (B)0或-1　 (C)0或1 　　 (D)0或-1或1

 8.A、B两点相距4cm,且A、B与平面α的距离分别为3cm和1cm,则AB与平面α所

成的角是 (　　)

(A)30º　 (B)90º　 (C)30º或90º　　　(D)30º或90º或150º

 9.与圆C(x-2)²+(y-2)²=2相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有(　 )

 (A)2条　　　(B)3条　　　　(C)4条　　  (D)6条

 10.过双曲线x²-²=1的右焦点的直线L交双曲线于A、B两点,当线段AB的长为

4时,直线L的条数是　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

 (A)1　　　(B)2　　　  (C)3　　 (D)4

 11.己知A={xx²+(p+2)x+1=0,x∈R},且A∩R⁺=Φ,则实数p的取值范围是(　)

(A)p≥-2　　　(B)p≤-2　　　 (C)p>2　　 (D)p>-4

 12.点M(5,3)到抛物线y=ax²的准线的距离等于6,那么抛物线的方程是(　)

　　　(A)y=12x²　　　　　　　　　　　 (B)y=x²或y=-x²

　　 (C)y=-36x²　　　　　　　　　　  (D)y=12x²或y=-36x²

　　13.与X轴相切且与圆x²+y²=1相外切的动圆圆心的轨迹方程是　 (　　)

　　 (A)x²=2+1　 (B)x²=2y+1　　(C)x²=-2y+1　　 (D)x²=2y-1

　　14.以正五棱柱的顶点为顶点的四面体的个数是　　　　　　　　 (　 )

(A)210　　　  (B)200　　　　 (C)190　　　 (D)180

 二、填空题

 15.若<1,则a的取值范围是­­­­­­­___________________ .

16.己知f(x)=lg(a+2)+sinx·lg(a-2)的最大值为2,则a=______________.

 17.设圆经过椭圆=1的长轴的一个端点和一个焦点,圆心在椭圆上,则

圆心到椭圆中心的距离是__________________.

 18.关于x的不等式a^2x+a<a^x+3+a^x-2,(a>0且a≠1)的解集为________________.　　　　　　 

 

三、解答题　

 19.解关于x的不等式(a+3)x²+2ax+a-2>0　　 (a∈R)

20.设a>0且a≠1,t>0,试比较M=log_a^t与N=log_a(t+1)的大小.

21.经过抛物线y²=2p(x+2p) (p>0)的顶点A作互相垂直的两条直线分别交抛物线于

B、C两点,⑴求线段BC中点M的轨迹方程, ⑵在点M的轨迹上求一点N,使点N到直线

x-y+1=0的距离最小,并求出这个最小值.

22.设f(x)=-x²+x+a  (a为实常数且a≤),是否存在实数m、n (m<n),当

f(x)的定义域为[m,n]时,f(x)的值域恰好为[3m,3n]? 说明理由.

23.己知f(x)=log _a是奇函数,(a>0且a≠1)

 ⑴求出m的值.

 ⑵由⑴的结果判断f(x)在(1,+∞)上的单调性,并加以证明.

⑶x∈(1,+∞),求a与r的值.