江苏省四星级高中常州市第二中学

高考数学模拟试卷　 2006.1.7

一、选择题（本题每小题5分，共60分）

1．已知集合A＝｛1,2,3,4｝，集合B＝｛－1,2｝，设映射：AB，若集合B中的元素都是A中元素的下的象，那么这样的映射有

A．16个　　　 B．14个　　 C．12个　　 D．8个

2.已知角的终边经过点，且，则的值是

A、　　　　　　　　 B、　　　　　　  C、　　　　　　  D、（　　）

3已知椭圆＝1的左、右焦点是F₁、F_{2, P} 是椭圆上的一点，线段PF₁交y轴于点M，若是与的等差中项，则等于（　 ）

 A．3　　　　　  B. 2　　　　　　 C.5　　　　　　 D.4

4．命题：函数不具有奇偶性；命题：当时，函数为减函数．对于以上两个命题，下列结论中正确的是（　　）

　　　 A．命题“或”为假　　　　　　　　　　　 B．命题“或”为真　  　

　 　C．命题“且”为假　　　　  　　　　　 D．命题“非”为真

5．正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AB、C₁D₁的中点，则直线A₁B₁与平面A₁ECF所成角的正弦为（　　）

　　A．　　　　 B．　　　 C．　　　D．

6．点P在直线上，PA、PB与圆相切于A、B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（　  ）

　　　　A．24　　　　　　　　  B．16　　　　　　　 C．8　　　　　　　 D．4

7. 设，分别是平面直角坐标系内轴、轴正方向上的两个单位向量，在同一直线上有A、B、C三个点，,若，则实数，的值分别为（　  ）

　　　　　 A. 或　　 　　　　　　B. 或　

　　　　　 C . 或　　　　　　　　  D. 或

8．以椭圆的右焦点为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于点M，N，若过椭圆左焦点的直线MF₁是圆的切线，则椭圆的离心率为（　  ）

A．　　B．　　C．　　D．

9过△ABC的重心任作一直线分别交AB、AC于D、E，则的值为A．4　　 B．3　　  C． 2　　 D．1　　  (　　)

10、为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a, b的值分别为（　 ）

　　A．0.27,　78　　B．0.27,　83

　　C．2.7,　78　　 D．2.7,　83

11一个机器猫每秒前进或后退一步，程序设计人员让机器猫以每前进3步，然后再后退2步的规律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长，令P（n）表示第n秒时机器猫所在的位置的坐标，且P（0）=0，那么下列结论中错误的是 (　 )　　　　　　　　　　　　 

 A. P(3)=3　　 B. P(5)=1　　C. P(101)=21　 D. P(103)<P(104)

12．经济学中的“蛛网理论”（如图），假定某种商品的“需求—价格”函数的图象为直线l₁,“供给—价格”函数的图象为直线l₂，它们的斜率分别为k₁、k₂，l₁与l₂的交点P为“供给—需求”均衡点，在供求两种力量的相互作用下，该商品的价格和产销量，沿平行于坐标轴的“蛛网”路径，箭头所指方向发展变化，最终能否达于均衡点P，与直线l₁、 l₂的斜率满足的条件有关，从下列三个图中可知最终能达于均衡点P的条件为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　A k₁+k₂>0　 　B k₁+k₂=0　　 C k₁+k₂<0　 D k₁+k₂可取任意实数　　

二、填空题（本题每小题4分，共24分）

13．在△ABC中，已知的值为　 　　　　　　　　　　　

14.，若＞，则不等式的解集为 　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　

15某校高三年级举行的一次演讲比赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其他班有5位. 若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为　　　 　　　　

16．已知球面上A、B两点间的球面距离是1，过这两点的球面半径的夹角为60°，则这个球的表面积与球的体积之比是　　　.

17.把曲线按向量a=（1，2）平移后得到曲线C₂，曲线C₂有一条准线方程为x=5，则k的值为　　　 　　　　　　　　　　 .

18 定义运算：，若数列满足，且（），则为　　　 　　　　　　　　　　 .　　　　　　　　　　　　　 

三、解答题（本大题共5小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：

19.( 本题满分12分)　　 已知向量和，且，求的值.

20．（.( 本题满分12分）运动队11月份安排4次体能测试，规定每位运动员一开始就要参加测试，一旦某次测试合格就不必参加以后的测试，否则4次测试都要参加。若李明4次测试当次合格的概率依次组成一公差为的等差数列，且他直至第二次测试才合格的概率为

　 （1）求李明第一次参加测试就合格的概率P₁（结果用分数表示）.

　 （2）求李明11月份体能测试能合格的概率.（结果用分数表示）

21（本题满分14分）如图已知四棱锥P—ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠A=90°且AB//CD，AB=CD.

（1）点F在线段PC上运动，且设为何值时，BF//平面PAD？并证明你的结论；

（2）二面角F—CD—B为45°，求二面角B—PC—D的大小；

（3）在（Ⅱ）的条件下，若AD=2，CD=3，求点A到平面PBC的距离.

22．（本题满分14分）如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为；折痕与AB交于点E，点M满足关系式。

　　　　　　（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求点M的轨迹方程；

（Ⅱ）若曲线C是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，F是边AB上的一点，，过点F的直线交曲线C于P、Q两点，且，求实数的取值范围。

　 23.（本小题14分，其中第一问 2分，第二问6分，第三问6分）

已知是定义在R上的函数，其图象交x轴于A，B，C三点，若点B的坐标为（2，0），且在和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．

　 （1）求c的值；

　 （2）在函数的图象上是否存在一点M（x₀，y₀），使得在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；

　 （3）求的取值范围．

参考答案

1-6　BADBAC　　7-12　CABADA

13　 2或-2　 14　（0，）（）　15　

16　 　　 17　 -3　　　18　　38

19: 解:……………………………………2分

……………………………4分

=

=………………………………………………………7分

=…………………………………………………………10分

由已知,得又

　　　 　

 　　   ……………13分
20．解：（1）设四次测试合格的概率依次为

则

∴李明第一次参加测试就合格的概率为………………6分

（2）设A为李明11月份体能测试合格的事件

则…………………………9分

∴李明11月体能测试能合格的概率为……………………12分

21．解：（1）当　

证明：取PD中点E，则EF//CD，且

∴四边形ABFE为平行四边形.　

∴BF//AE. 又AE平面PAD　∴BF//平面PAD　 ……………4分

（2）平面ABCD，即是二面角的平

面角　

为等腰直角三角形，

平面PCD  又BF//AE，平面PCD. 平面PBC，

∴平面PCD⊥平面PBC，即二面角B—PC—D的大小为90°.　……………8分

（3）在平面PCD内作EH⊥PC于点H，由平面PCD⊥平面PBC且平面PCD

平面PBC=PC知：EH⊥平面PBC.　

在，

在代入得：

即点E到平面PBC的距离为　

又点A到平面PBC的距离为……14分

22解答：(1)建立如图所示坐标系，设E(0,t),B’(x₀,2)，M(x,y),则在中可求得，∴

又，代入可得：

消去t得：（0≤x≤2）（8分）

(2)≤≤2（14分）

23．解：⑴ ∵在和上有相反单调性，

∴ x=0是的一个极值点，故，

即有一个解为x=0，∴c=0　　　　  ……2分

⑵ ∵交x轴于点B（2，0）

　 ∴

　 令，则

　 ∵在和上有相反的单调性

　 ∴， ∴　　　　　　 ……4分

　 假设存在点M（x₀，y₀），使得在点M的切线斜率为3b，则

　 即

　 ∵ △=　　　　　 ……6分

　 又， ∴△＜0

　 ∴不存在点M（x₀，y₀），使得在点M的切线斜率为3b．　　……8分

⑶ 依题意可令

　　　　　　  ……10分

　　  ……11分

∵，∴当时，；　　　　　　

当时，

故　　　　　　　　　　　  ……14分