长郡中学高三第五次月考

数 学 试 卷（理）

时量：120分钟　　 满分：150分　　 2006.01.11-12

一、选择题（每题的答案是唯一的。每题5分，共50分）：

1、　设f：x→x²是集合A到集合B的映射，若B＝｛1,2｝，则A∩B等于（　 ）　　　　 

（A）Φ　　 （B）｛1｝　　（C）Φ或｛2｝　 （D）Φ或｛1｝

2、　　　  已知关于x的不等式的解集是[-1，0）则a+b=（　　）

A．－2　　　 B．－1　　　　 C．1　　　　 D．3

3、　函数的图象经过四个象限的充要条件是（　　 ）

A、且　B、且 C、且　D、

4、  若奇函数在R上是增函数，那么的大致图像是　　　　　（　　）

5、  若向量，则数列（　）

A、是等差数列不是等比数列　　　　　　　 B、是等比数列不是等差数列　　　　　  C、是等差数列也是等比数列　　　　 D、既不是等差数列也不是等比数列

6、　已知平面、都垂直于平面，且给出下列四个命题：

　　　 ①若；②若；③若；④若.　　其中真命题的个数为　　　 （　　 ）

　　　 A．4　　　　　　　　　　　　B．3　　　　　　　　　　　　C．2　　　　　　　　　　　　D．1

7、　若与的展开式中含有项的系数相等，则实数∈（　　　 ）

（A）. 　　（B）.　　　（C）. 　　（D）.

8、　△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则acosC+ccosA的值为　(  　　)　　　(A)b.　　 (B).　　(C)2cosB.　　(D)2sinB.

9、　已知以为自变量的目标函数的可行域如图阴影部分（含边界），若使取最大值时的最优解有无穷多个，则k的值为（　　 ）

A、1　　　B、2　 　 C、3　　　D、4　　　　　　　　　　　

10、　　点P在直径为的球面上，过P作两两垂直的3条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这3条弦长之和的最大值是（ 　）

　　A．　　　　　　　　B．　　　　 C．　　　　　　　D． 6

二、填空题（每题4分，共20分）

11、　  如果复数的实部和虚部互为相反数，则b=_______

12、　  已知f ( x )是可导的偶函数，且 ，则曲线y = f ( x )在（–1，2）处的切线方程是______________

13、　  由正数组成的等比数列中，已知，则等于________

14、　  A和B分别在圆和双曲线上运动，则AB的最小值为_____

15、　  对于函数，给出下列四个命题：

　　　 ①存在；

　　　 ②存在恒成立；

　　　 ③存在，使函数的图像关于y轴对称；

　　　 ④函数的图象关于点对称；

其中正确命题的序号是　　　　　　　　　

高三第五次月考数学试卷（理科）

21、　　　  (本小题满分14分)已知 　 设,且 　 (1)求的解析式； 　 (2)求证：； 　 (3)求证：.

数学（理）答案

一、选择：DCDCAABAAB

二、填空：0；y = 4x + 6.；11；；①③④

三、解答：

16、解：（1）∵=（sinB，1-cosB) , 且与向量（2，0）所成角为

∴∴tan 6’

（2）：由（1）可得∴………8’

∵∴………………10’

∴当且仅当 …………………………12’

17、解：（Ⅰ）当…2分

两边同除以，…5分即成立，

∴为首项，d=4为公差的等差数列. …………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ……9分

∴ ………10分设是数列的第t项，则解得，t=11∈N*，………13分∴是数列的第11项.…………14分

18、解：（1）A中2张钱币取1张，有2种情况，　　 B中3张钱币取1张，有3种情况，　 ∴互换一次有2´3 = 6种情况，　　 其中10元币恰是一张的情况有3种，　 ∴A袋中10元钱币恰是一张的概率为P₁ =.

（2）列表：

ξ	10元	15元	20元
P

Eξ= ´10 + ´15 + ´20 = .答略　

19、解法一：(1)∵PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，∴CD⊥BD.在直角梯形

ABCD中，AB=AD=3，∴BC=6.取BC的中点F，连结PF，则AF∥CD.

∴异面直线PA和CD所成的角就是PA和AF所成的角∠PAF 在Δ

PAF中，AF=PA=PF=　　 ∴∠PAF=60°.

(2)连结AC交BD于G，连结EG，

PC∥EG.又EG平面EBD，PC平面EBD ∴PC∥平面EBD.

(3)∵PB⊥平面ABCD，∴AD⊥PB.又∵AD⊥AB，∴AD⊥平面EAB.作AH⊥BE，垂足为H，连结DH，则DH⊥BE，∴∠AHD是二面角A—BE—D的平面角.在ΔABE中，BE=

解法二：(1)建立如图所示的直角坐标系B—xyz.设BC=a,则A(0,3,0),

P(0,0,3),D(3,3,0) C(a,0,0),

20、解：（Ⅰ）设P点的坐标为(x，y)，则，，

　又，故，．　　　　　　　　　　 　 由题知向量与向量平行，故(y + a) = ax．　　又向量与向量平行，故y – a = 2．　　　 两方程联立消去参数，得点P (x，y)的轨迹方程是　(y + a)(y – a) = 2a²x²，即y² – a² = 2a²x²．　　　　（6分）

　　　 　　 （Ⅱ）∵，故点P的轨迹方程为2y² – 2x² = 1，

此时点E (0，1)为双曲线的焦点． ①若直线l的斜率不存在，其方程为x = 0，l与双曲线交于、，此时．　 （8分）

②若直线l的斜率存在，设其方程为y = kx + 1，代入2y² – 2x² = 1化简得　　　　  　　　 2(k² – 1) x² + 4kx + 1 = 0．∴直线l与双曲线交于两点，

∴△= (4k)² – 8 (k² – 1) > 0且k² – 1≠0．解得k≠±1．设两交点为M (x₁，y₁)、N (x₂，y₂)，则x₁ + x₂ =，x₁x₂ =．　　 （10分）

此时= x₁x₂ + k²x₁x₂ = (k² + 1) x₁x₂ =．

当– 1 < k < 1时，k² – 1 < 0，故≤；

当k > 1或k < – 1时，k² – 1 > 0，故．

综上所述，的取值范围是∪．　 （14分）

21、(1)解: ∵且∴,

∵且∴

∵且∴…………………………

且∴

于是

(2)证明: <3

(3)证明: ∵

当≥4时,=

∴