北京市海淀区高三年级2005—2006学年度试卷

数 学　(理科)

2005．12

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集U=2，4，6，8，10}，集合A={2，4，6}，B={4，8则A∩(C_UB)=

A.4}　　　　 B.4,6　　　　 C.6}　　　　　 D.2,6

2. ()²=

A.　　　B.　　　C.　　　　D.

3.函数y=的反函数是

A.y=x²-2x+2(x＜1)　　　　　　 B.y=x²-2x+2(x≥1)

C.y=x²-2x(x＜1)　　　　　　　 D. y=x²-2x(x≥1)

4.若﹁p是﹁q的必要不充分条件，则p是q的

A.充分不必要条件　　　　　　　B.必要不充分条件

C.充分且必要条件　　　　　　　D.既不充分也不必要条件

5.若将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有

　A.24种　　　　　　B.36种　　　　　C.48种　　　　　D.72种

6.函数y=的定义域是

　A.[1,+∞] B.　　　C.　　　　D.

7.若＜0，则下列不等式①a+b＜ab;②a＞b;③a＜b;④中，正确的不等式有

A.1个　　　　 B.2个　　　　　 C.3个　　　　　 D.4个

8.若函数f(x)=则y=f(1-x)的图象可以是

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.

9.某地区有A、B、C三家养鸡场，鸡的数量分别为12000只，8000只，4000只，为了预防禽流感，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为120只的样本检查疫情，则从A、B、C三家鸡场分别抽取的个体数为_____________只，_____________只，______________只.

10.若(1+ax)⁵展开式中x³的系数为-80，则实数a=____________________.

11.若等差数列{a_n}中，公差d=2，且a₁+a₂…+a₁₀₀=200，则a₅+a₁₀+a₁₅+…+a₁₀₀的值是__________.

12.()的值为________________.

13.函数f(x)=(x∈R)，若x₁+x₂=1，则f(x₁)+f(x₂)=__________，又若n∈N⁺，则f_______________.

14.抛一枚均匀硬币，正、反每面出现的概率都是，反复这样的投掷.数列a_n定义如下：a_n=　txjy

若S_n=a₁+a₂+…+a_n(n∈N⁺)，则事件“S₈=2”的概率为_________，事件“S₂≠0，且S₈=2”的概率为_______________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.(本小题共13分)

　　设关于x的不等式x-a＜2(a∈R)的解集为A，不等式＜1的解集为B.

　　(Ⅰ)求集合A、B；

　　(Ⅱ)若AB，求实数a的取值范围.

16.(本小题共14分)

　　已知函数f(x)=x²e^ax,其中a＞0，e为自然对数的底数.

　　(Ⅰ)求f′(x);

　　(Ⅱ)求f(x)的单调区间；

　　(Ⅲ)求函数f(x)在区间［0，1］上的最大值.

17. (本小题共13分)

某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则家具城返还顾客现金1000元.某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券.设该顾客购买餐桌的实际支出为 ξ(元).

(Ⅰ)求ξ的所有可能取值；

(Ⅱ)求ξ的分布列；

(Ⅲ)求Eξ.

18.(本小题共14分)

　　已知函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立，f(1)=0.

　　(Ⅰ)求f(0)的值；

　　(Ⅱ)求f(x)的解析式；

　　(Ⅲ)若函数g(x)=(x+1)f(x)-a［f(x+1)-x］在区间(-1，2)上是减函数，求实数a的取值范围.

19.(本小题共14分)

　　已知等差数列{a_n}(n∈N⁺)的第2项为8，前10项的和为185.

　　(Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式；

　　(Ⅱ)若从数列{a_n}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2ⁿ项，…，按取出顺序组成一个新数列{b_n}，试求数列{b_n}的前n项和S_n；

(Ⅲ)设T_n=n(9+a_n)，试比较S_n与T_n的大小，并说明理由.

20.(本小题共12分)

　　已知函数f(x)=，定义域为［-1，1］

　　(Ⅰ)若a=b=0，求f(x)的最小值；

　　(Ⅱ)若对任意x∈［-1，1］，不等式6≤f(x)≤5+均成立，求实数a,b的值.

数学参考答案及评分标准

(理科)

一、选择题(每小题5分，共40分)

　　1.D　2.D　3.B　4.A5.B　　6.D　7.B　8.C

二、填空题(每小题5分，共30分)

9.60 40　 20(对一个给2分，对二个给4分，对三个给5分)

10.-2　　　 11.120　　 12. -1　　　　　　 13.(第一空2分，第二空3分)

14.(第一空2分，第二空3分)

三、解答题(本大题共6小题，共80分)

15.(本小题共13分)

　　解：(Ⅰ)由不等式x-a＜2，则-2＜x-a＜2

　　　　　　　　　　 a-2＜x＜a+2

　　　　　　∴A=｛xa-2＜x＜a+2｝.　…………………………………………3分

　　　　　　　　　　 由不等式，则＜0 …………………………………………5分

　　　　　　　　　　 即：(x-3)(x+2)＜0　　

　　　　　　　　　　 解得：-2＜x＜3

　　　　　　　　　　 ∴B={x-2＜x＜3　　　…………………………………………7分

　　　　　　　(Ⅱ)由AB,则　 …………………………………………10分

　　　　　　　　　　 解得：0≤a≤1.　…………………………………………13分

　　　　　　　　　　 即AB时，a∈［0,1］

　　　　　　　　　　 (不写等号，只给12分)

16.(本小题共14分)

　　　 解：(Ⅰ)f′(x)=2xe^ax+ax²e^ax=(2x+ax²)e^ax。…………………………………………3分　

　　　　　　　(Ⅱ)∵a＞0,e^ax＞0

　　　　　　　　　　 当2x+ax²＞0时，得x＜-或x＞0，…………………………………………6分

　　　　　　　　　　 当2x+ax²＜0时，得-＜x＜0. …………………………………………9分

　　　　　　　　　　 所以，函数f(x)在区间(-∞，-)内为增函数，

　　　　　　　　　　 在区间()内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数……………11分

　　　　　　　(Ⅲ)函数f(x)在区间［0,+∞］内为增函数，

　　　　　　　　　　 ∴f(x)在［0,1］上的最大值为f(1)=e^a. ……………………………………14分

17.(本小题共13分)

　　　 解： (Ⅰ)ξ的所有可能取值为3400,2400,1400,400. …………………………………2分

　　　　　　　(Ⅱ)P(ξ=3400)=()³=…………………………………………7分

P(ξ=2400)=C ()()²=…………………………………………6分

P(ξ=1400)=C ()²()=…………………………………………8分

P(ξ=400)=C ()³=…………………………………………10分

ξ的分布列为…………………………………………11分

ξ	3400	2400	1400	400
P

　　　　(Ⅲ)Eξ=3400×+2400×+1400×+400×=2800. ……………13分

18.(本小题共14分)

　　解：(Ⅰ)令x=1,y=0

　　　　　　　　得f(0)= -2　 …………………………………………4分

　　　　　　　(Ⅱ)令y=0，由(Ⅰ)　

　　　　　　　　　　 可得f(x)=x²+x-2　　…………………………………………7分

　　　　　　　(Ⅲ)g(x)=(x+1)f(x)-a［f(x+1)-x］

　　　　　　　　　　 　=x³+(2-a)x²-(2a+1)x-2　…………………………………………8分

　　　　　　　　　　 g(x)=3x²+2(2-a)x-(2a+1)　…………………………………………9分

　　　　　　　　　　 ∵g(x)在(-1，2)上是减函数

∴即……………………………………12分

解不等式组得a≥.　　…………………………………………14分

∴综上，当函数g(x)在区间(-1，2)上是减函数时，a∈［).

(没有等号扣2分)

19.(本小题共14分)

　　　 解：(Ⅰ)设数列a_n首项、公差分别为a₁、d.则由已知得

　　　　　　　　　　 a₁+d=8　　①,

10a₁+=185 ② …………………………………………2分

联立①②解得a₁=5，d=3. …………………………………………4分

所以：a_n=3n+2 (n∈N^*)

　　　　　　　(Ⅱ)b_n=a(n∈N^*).

　　　　　　　　　　 S_n=b₁+b₂+…+b_n

=a+ a+…+a₂ⁿ　

　　　　　　　　　　  =na₁+［(2¹-1) d+(2²-1)d+…+(2ⁿ-1)d］

　　　　　　　　　　  =n(a₁-d)+2(2ⁿ-1)d

　　　　　　　　　　  =3·2ⁿ⁺¹+2n-6　　 (n∈N^*).…………………………………………9分

　　　　　　　(Ⅲ)由T_n=n(9+a_n)=3n+11n

　　　　　　　

n	3n2+11n	3·2n+1+2n-6
1	14	8
2	34	22
3	60	48
4	92	98
5	130	196
6	174	390
…	…	…

　　　　猜想n＜4时，T_a＞S_n;n≥4时，T_a＜S_n. …………………………………………10分

　　　　　　　n=1,2,3,已证，

　　　　　　　(1)n=4已证，(2)假设当n=k时，T_k＜S_k(k∈N^*，且k≥4)成立.

　　　　　　　即3·2^k+1+2k-6＞3k²+11k(k∈N^*，且k≥4)成立.

　　　　　　　当n=k+1时，

　　　　　　　S_k-1=3·2^(k+1)+1+2(k+1)-6=3·2^k+1+2k-6+3·2^k+1+2＞3k²+11k+3·2^k+1+2

　　　　　　　因为k≥4，所以2^k=(1+1)^k=C+C+ C+…+ C＞k+2

　　　　　　　所以S_k+1＞3k²+11k+3·2·(k+2)+2=3(k+1)²+11(k+1)=T_k+1

　　　　　　　这就是说，当n=k+1时，不等式成立.

　　　　　　　根据(1)和(2)，可知对任意n≥4(n∈N^*)T_n＜S_n都成立. ………………………14分

　　　　　　　综上，当n＜4时，T_n＞S_n;n≥4时，T_n＜S_n(n∈N^*) .

20.(本小题共12分)

　　　 解： (Ⅰ)当a=b=0时

f(x)=

f′(x)=　　…………………………………………2分

记h(x)=16x³+48x²-14

令h(x)=0,得x=，x=,或x=.

若x∈或，则f′(x)＞0,即f(x)在和上为增函数.

若x∈，则f′(x)＜0，即f(x)在上为减函数，

∴f()=6为极小值.

又f(-1)=6，

∴f(x)在［-1,1］上的最小值为f(-1)=f()=6.

∴f(x)≥6，当x=-1或时，f(x)取到最小值6. ……………………………6分

　　　　　　　(Ⅱ)6≤f(x)≤5+

　　　　　　　　　　 6≤≤5+

　　　　　　　　　　 6(x+2)≤8x³+ax²+6x+14≤6x+16

　　　　　　　　　　 0≤8x³+ax²+(b-6)x+2≤4…………………………………………8分

　　　　　　　　　　 即

　　　　　　　　　　 在不等式(*)中，取x=-1，，得

　　　　　　　　　　 -8+a-(b-6)+2≥0

　　　　　　　　　　 1+

　　　　　　　　　　 即a-b≥0,a+b≥0

　　　　　　　　　　 亦即-a+b≤0　　　　 (1)

　　　　　　　　　　 　　　　　(2)

　　　　　　　　　　 在不等式(#)中，取x=1，-，得

　　　　　　　　　　 8+a+(b-6)+2≤4

　　　　　　　　　　 -1+a-(b-6)+2≤4

　　　　　　　　　　 即a+b≤0,≤0

　　　　　　　　　　 亦即a+b≤0　　　　　(3)

　　　　　　　　　　 -a+≥0　　　　(4)

　　　　　　　　　　 (1)+(3)，得b≤0

　　　　　　　　　　 (2)+(4)，得b≥0

　　　　　　　　　　 ∴b=0

　　　　　　　　　　 将b=0代入(2)，得a≥0

　　　　　　　　　　 将b=0代入(3)，得a≤0

　　　　　　　　　　 ∴a=0

　　　　　　　　　　 当a=0，b=0时，

　　　　　　　　　　 6≤f(x)≤5+

　　　　　　　　　　 0≤8x³+ax²+(b-6)x+2≤4

　　　　　　　　　　 0≤8x³-6x+2≤4

　　　　　　　　　　 记g(x)=8x³-6x+2

　　　　　　　　　　 0≤g(x)≤4

　　　　　　　　　　 g′(x)=24x²-6,

　　　　　　　　　　 令g′(x)=0，得x=-或x=.

　　　　　　　　　　 若x∈或则g′(x)＞0，即g(x)在和上为增函数.

　　　　　　　　　　 若x∈，则g′(x)＜0，即g(x)在上为减函数，

　　　　　　　　　　 ∴g(-)=4为极大值，g()=0为极小值.

　　　　　　　　　　 又g(-1)=0，g(1)=4，

　　　　　　　　　　 ∴g(x)在［-1，1］上最大值为g(-)=g(1)=4,

　　　　　　　　　　 g(x)在［-1，1］上最小值为g(-1)=g()=0.

　　　　　　　　　　 知0≤g(x)≤4，对一切x∈［-1，1］成立.

　　　　　　　　　　 综上可知a=0,b=0是满足题意的唯一一组值. ……………………………12分

注：其它正确解法按相应步骤给分.