北京市八中2005—2006学年度上学期高三调研模拟试卷

数学（理科）

一、选择题：

1．若集合，则

　　　 A．　　　　B． 　　　 C．　　　 D．

2．复数的值是

　　　 A ．2　　　 　　　　　B．　　  　　　　　C．　　　　　　　　　 D．

3．设函数在点处连续，则＝

　　　 A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　D．

4．“且”是“且”的

　　　 A．充分非必要条件　　　　　　  　　　　B．必要非充分条件

　　　 C．充要条件　　　　 　　　　　　　　　　　D．既不充分也不必要条件

5．已知在区间上递增，则实数的取值范围是

　　　 A．　　　 B．　　　　　　　C． 　　　　　　 D．

6．，则等于天星 教育网

　 A．1　　 　　　　　　　　 B．0　　　　　　　　　　 C．3　 　　　　　　　　　 D．

7．曲线上的点到直线的最短距离是

　　　 A．　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　D．0

8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集是

　　　 A．　B．

　　　 C．　　 D．

9．设函数 给出下列四个命题：

①时，是奇函数；

　　　 ②时，方程只有一个实根；

③的图象关于对称;

　　　 ④方程至多有两个实根.

　　　 其中正确的命题是

　　　 A．①④　　　　 　 B．①③　　　　 　 C．①②③　　　 　 D．①②④

10．正实数及函数满足，且，则的最小值为

　　　A．4　　　 　　　　　　B．2　　　 　　　　　　C．　　　 　　　　　D．

二、填空题：

11．国家准备出台调整个人收入所得税方面的政策，各地举行各行业收入的入户调查.某住宅小区约有公务员120，公司职员200人，教师80人，现采用分层抽样的方法抽取容量为20人的样本进行调查，则公务员、公司职员、教师各抽取的人数为　　　　　  .

12．已知函数是奇函数，当时，，的反函数是，则 ＝　　　　　  .

13．曲线在点处的切线方程为　　　　　  .

14．购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”（每月须交的固定费用）50元，在市区通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市区通话时每分钟话费0.60元，若某用户每月手机费预算为120元，则在这两种手机卡中，购买　　　　　  卡较合算.

三、解答题：

15．已知集合，集合，若，求实数的值.

16．某校一个研究性学习团队从网上查得，某种植物种子在一定条件下的发芽成功的概率为，于是该学习团队分两个小组进行验证性实验.

　 （1）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；

　 （2）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验.直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次.求这一小组所做的种子发芽实验次数的分布列和期望.

17．已知命题：复数对应的点落在复平面的第二象限；命题：以为首项，公比为的等比数列的前项和极限为2.若命题“且”是假命题，“或”是真命题，求实数的取值范围.

18．设函数是奇函数（都是整数，且，，在上是单调递增.

　 （1）求的值；

　 （2）当，的单调性如何？用单调性定义证明你的结论.

　

19．函数对任意实数都有.

　 （1）求的值；

　 （2）若，求的值，猜想的表达式并用数学归纳法证明你的结论；

　 （3）若，求证：.

　天星　教育网

20．已知函数的图像与函数的图象相切.

　 （1）求b与c的关系式（用c表示b）；

　 （2）设函数，

（ⅰ）当时，在函数的图像上是否存在点，使得在点的切线斜率为，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

（ⅱ）若函数在内有极值点，求c的取值范围.

北京八中理科参考答案及评分标准

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	C	A	D	A	B	D	A	B	C	C

11．6、10、4　　　　 12. －2　　　　13. y＝2x　　　 14.神州行　　　　

15． ，　　　　

 

则有或　

16．（1）至少有3次成功包括3次、4次和5次成功，即

　　　　

　 （2）依题意有

	1	2	3	4	5

　　　　　 

17．命题有：　　　　　　　　

　　　 由①得：　

　　　 由②得：　　

　　　 由上得满足P的m的取值范围是：或  

　　　 对命题,有：，　又 ,得：且

又命题“且”是假命题，“或”是真命题，则

m的范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

18．（1）由是奇函数，得对定义域内x恒成立，则

　　　　　　　对对定义域内x恒成立，即

（或由定义域关于原点对称得）

又由①得代入②得，

又是整数，得　　 

　　（2）由（1）知，，当，在上单调递增，在上单调递减.下用定义证明之.　　

设，则，

因为，，,，

故在上单调递增；　

同理，可证在上单调递减.

19．（1）令得

（2），　 　　　　　 

　　　　猜想，下用数学归纳法证明之.（略）

　　 （3），则

　　　　　　 假设时命题成立，即，则

　　　 ,

　　　　　　由上知，则.　 天星 教育网

20．（1）依题意，令

　　　　　　　　

　（2）

　　　　 （ⅰ）当时，，

　　　　　　　，若存在满足条件的点M，则有：

　　　　　　　,,即这样的点M存在，且坐标为

　　　 （ⅱ）

　　　　　　　　令(x)=0，即3x²+4bx+b²+c=0；而=16b²－12(b²+c)=4(b²－3c)，

　　　 若=0，则(x)=0有两个相等的实根，设为x₀，此时(x)的变化如下：

x		x0	（
	+	0	+

　　　 于是不是函数的极值点.

　　　 的变化如下：

x		x1			（
	+	0	—	0	+

　　　 由此，x=x₁是函数F(x)的极大值点，x=x₂是函数F(x)的极小值点.

　　　 综上所述，当且仅当