2006届高三联考试卷

（2006.1）

数　 学

考试时间：120分钟　 满分：150分

第Ⅰ卷（选择题　共60分）

一、选择题（每小题5分，共10小题，共50分），把答案涂在答题卡上.

1.　　　　 圆与圆关于直线对称，则与的值分别等于(　　 )

　　　 A．，　 　　　　　　　　　　　　　　B．，　　  　　

　　　 C．，　　　　　　　　　　　　　　 D．，

2.　　　　 等差数列的通项公式是，其前项和为，则数列的前10项和为 (　　)

　　　 A．75　　　　　　　　　　 B．70 　　　　　　　　　　 C．120 　　　　　　　　　 D．100

3.　　　　 先将的图象沿轴向右平移个单位，再将图象上每一个点的横坐标伸长为原来的2倍，而保持它们的纵坐标不变，得到的曲线与的图象相同，则是（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　B．

　　　 C． 　　　　　　　　　　　　　 D．

4.　　　　 已知直线、和平面，则的一个必要不充分条件是（　 ）

　　　 A．  ，　　　　　　　　　　　　　　 B． ，

　　　 C．  ， 　　　　　　　　　　　　　　D． 、与成等角

5.　　　　 函数在其定义域上单调递减，且值域为，则它的反函数的值域是（　 ）

　　　 A．　 　　　　　B．　 　　　　　 C．　　　　　D．

6.　　　　 函数满足：，则下列结论正确的是（　 ）

　　　 A．的图象关于直线对称　　　　B．的图象关于点（1，0）对称　　

　　　 C．函数是奇函数　　　　　　　D．函数周期函数

7.　　　　 无穷数列中，，其前项和为．当，时，，则等于(　 )

　　　 A．0 　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　D．3

8.　　　　 已知，全集U=R，集合M=，N=，P=，则P与M、N的关系为 （　 ）

　　　 A．P= (C_UM) N　 B．P=M(C_UN) 　　C．P=MN　　　　　　D．P=MN

9.　　　　 为三角形的一个内角，且，则与的值依次为  (　)

　　　 A．　　　　　　　 B．　　　　　　C．　　　　 D．

10.　　 已知椭圆与双曲线有相同的焦点和．若是与的等比中项，是与的等差中项，则椭圆的离心率等于（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　D．

　　　　第Ⅱ卷（非选择题　共100分）

二．填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分）

11.　　 不等式对所有都成立，则的取值范围是　　　　　　  ．

12.　　 右图所示的流程图是将一系列指令和问题用框图的形式排列而成，箭头说明下一步是到哪一个框图。阅读这个流程图，回答下列问题：

　　　 若a<b<c，则输出的数是　　 ；（2分）

　　　 若a=,b=,c=，则输出的数是　　　　  ．（用字母a、b、c填空）（3分）

13.　　 点A、B、C是表面积为的球O表面上的三点，且每两点间的球面距离都等于，则三棱锥O–ABC的体积等于　　　　 　．

14.　　 有下列四个命题：

①函数的值域是；　

　　②平面内的动点P到点F和到直线:的距离相等，则P的轨迹是抛物线；

　　③直线AB与平面相交于点B，且AB与内相交于C的三条互不重合的直线CD、CE、CF所成的角相等，则AB；

　　④函数的最小正周期是．

　　　 其中正确的命题的编号是　　　　  ．

2006届

深圳实验学校中山纪念中学 珠海一中惠州一中东莞中学

高三联考试卷

（2006.1）

数学答卷

一、选择题（510=50）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案

二、填空题（54=20）

11．　　　　　　　　 　12．　　　　  （2分）　　 　　　　　　 （3分）

13．　　　　　　　  　 14．　　　　　　　　 

三、解答题：（共6小题，共80分）

15.　　 （12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为、、．其中，．

（1）求角B的大小；

（2）求+的取值范围．

16.　　 （13分）设，函数是奇函数．

（1）求常数的值；

（2）实数，是函数的反函数，解关于的不等式

．

17.　　 （13分）我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用了价格调控等手段来达到节约用水的目的．某市用水收费的方法是：水费=基本费 + 超额费 + 定额损耗费．

若每月用水量不超过最低限量时，只付基本费8元和每月的定额损耗费元；若用水量超过时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每1付元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．

该市一家庭今年一季度的用水量和支付费用见下表，根据表中的数据求、、．

月份	用水量（）	水费（元）
1	9	9
2	15	19
3	22	33

18.　　 （14分）如图，棱柱ABCD–A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=，

平面A A₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=．

(1)　　求二面角D–A₁A–C的大小；

(2)　　求点B₁到平面A₁ADD₁的距离；

(3)　　在直线CC₁上是否存在点P，使BP // 平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

19.　　 （14分）在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，，．过点M作MM₁⊥轴于M₁，过N作NN₁⊥轴于点N₁，．记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）证明不存在直线，使得；

（Ⅲ）过点P作轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若，证明．

20.　　 （14分）数列的各项均为正值，，对任意，，都成立．

（Ⅰ）求数列、的通项公式；

（Ⅱ）当且时，证明对任意都有成立．

2006届

深圳实验学校中山纪念中学 珠海一中惠州一中东莞中学

高三联考试卷

（2006.1）数学答案、评分说明

一、选择题（510=50）

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
B	A	C	D	C	D	A	B	C	B

二、填空题（54=20）

11．　 　 　　12．　  c　　 （2分）　　 　 b　　　 （3分）

13．　　　　　　　　　　　　　 14．　　 ③、④　　

三、解答题：（共6小题，共80分）

15．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为、、．其中，．

（1）求角B的大小；

（2）求+的取值范围．

解：(1)由得

　　　　　　　　　 1分

可知，否则有，， ，互相矛盾．  2分

∴ ，即 3分

而，所以．　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

∴　_B=．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

_{（2）由正弦定理有，，}

∴　 ，　，　　　　 　　　　　　　　　7分

∴　　　　  9分

∵ ，　∴　，　 _于是，　　　 11分

_{则+的取值范围是}．　　　　　　　　　　　　 　　　　　12分

16．（13分）设，函数是奇函数．

（1）求常数的值；

（2）实数，是函数的反函数，解关于的不等式

．

解：(1)为奇函数的充要条件是：对任意，都成立． 1分

_4分

即恒成立，

∴ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

(2) 函数的定义域是R．

可得的值域为．　　　　　　　 6分

由得， ，从而得到　8分

则原不等式为　　

由及函数单调递增知，不等式等价于10分

当时，原不等式的解集为；　　　　　　　　　　　　　  11分

当时，原不等式的解集为．　　　　　　　　　　　　　　　　  13分

17.（13分）我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用了价格调控等手段来达到节约用水的目的．某市用水收费的方法是：水费=基本费 + 超额费 + 定额损耗费．

若每月用水量不超过最低限量时，只付基本费8元和每月的定额损耗费元；若用水量超过时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每1付元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．

该市一家庭今年一季度的用水量和支付费用见下表，根据表中的数据求、、．

月份	用水量（）	水费（元）
1	9	9
2	15	19
3	22	33

解：设月用水量为，当月支付费用为元，则

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

由题知，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

从表中知，2月、3月的费用均大于13元，故用水量15、22均大于最低限量，将、分别代入上述(2)可得

　　  解得　　　　　　　　　　　　　　 6分

　　　　  (3)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  7分

若1月份用水量9超过最低限量，即，将代入上述（2）式中得

　　得，这与（3）式矛盾.

，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　 10分

因此1月份的付款应为：　　　　　　　　　　　　　　　 11分

故　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　12分

答：略.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  13分

18. （14分）如图，棱柱ABCD–A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=，

平面A A₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=．

(4)　　求二面角D–A₁A–C的大小；

(5)　　求点B₁到平面A₁ADD₁的距离；

(6)　　在直线CC₁上是否存在点P，使BP // 平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

解：（1）在平面ABCD上，AB=BC=CD=DA=2

∴四边形ABCD为菱形

∴BD⊥AC

∵平面A A₁C₁C⊥平面ABCD

∴BD⊥平面A A₁C₁C

设AC∩BD=O，过O作OE⊥AA₁于E点，连结DE，由三垂线定理有，AA₁⊥DE，

则∠DEO为二面角D–A₁A–C的平面角　　　 2分

在菱形ABCD中，AB=2， ∠ABC=

 ∴AC=AB=BC=2　　

∴AO=1,　DO=

在Rt△AEO中，

在Rt△DEO中，

 

 ∴∠DEO=　　　　　　　　　　　　　　 4分

∴二面角D–A₁A–C的大小为．　　　　　　　　　　　　  5分

（2）连结A₁O、A₁B．由于B₁B //平面A₁A DD₁，所以B、B₁到平面A₁A DD₁的距离相等，设点B到平面A₁A DD₁的距离等于．　　　　　　　　　　　　　　 6分

在△AA₁ O中，

∴　　  ∴A₁O⊥AO

而平面A A₁C₁C⊥平面ABCD　 ∴A₁O⊥平面ABCD　　　　　　　　　　　　 7分

_{由上述第（1）问有，ED ⊥A1A1且}

∴

又

由有,　　　　 9分

∴

即点B₁到平面A₁ADD₁的距离等于．　　　　　　　　　　  10分

（3）存在这样的点P．　 连结B₁C．

∵A₁B₁ABDC　　　 ∴四边形A₁B₁CD为平行四边形　 ∴A₁D//B₁C　12分

在C₁C的延长线上取点P，使C₁C=CP，连结BP，

因B₁BC₁C　　　　∴B₁BCP　　　∴四边形BB₁CP为平行四边形

∴BP//B₁C　　　 ∴BP//A₁D　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  13分

则有BP // 平面DA₁C₁ 14分

注：本题的侧棱长为2是一个多余的条件，其作为已知可以减少向量坐标解法的运算量。

19.（14分）在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，，．过点M作MM₁⊥轴于M₁，过N作NN₁⊥轴于点N₁，．记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）．

（1）　　　 求曲线C的方程；

（2）　　　 证明不存在直线，使得；

（3）　　　 过点P作轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若，证明．

（1）解：设点T的坐标为，点M的坐标为，则M₁的坐标为

　∴点N的坐标为　　　　 1分

∴N₁的坐标为　　  ∴　　  2分

由有　　

∴　　  由此得　　　　　　　　　　　　　 3分

由有

∴　　  即，即为所求的方程．曲线C为椭圆．　　4分

（2）证：点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，当直线的斜率不存在时，直线与椭圆C无交点，所以直线斜率存在，并设为．直线的方程为．　　　 5分

由方程组　　 得　　　　6分

依题意，得．　　　　　　　  7分

当时，设交点，PQ的中点为R，则

，　　　　

∴　　　　　　　　　　　  8分

又BR⊥

　　　　  9分

但不可能成立，所以不存在直线使得．　 10分

（3）证明：由题有S，．

则有方程组　　　　　　　　　　　　　  11分

由（1）得：

将（2）、（5）代入（3）有

整理并将（4）、（5）代入得　

易知，解得　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　 12分

因，故，，

∴

∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  14分

20．（14分）数列的各项均为正值，，对任意，，都成立．

(1)　  求数列、的通项公式；

(2)　  当且时，证明对任意都有成立．

(1)　  解：由得，

　　　　　　　　　　　  2分

数列的各项为正值，

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  3分

∴　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　4分

又

∴数列为等比数列．　　　　　　　　　　　　　　　  6分

∴，　 ，即为数列的通项公式． 7分

　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

（2）设

∴ (1) 10分

当时，，

∴

∴,　 当且仅当时等号成立．　　　　　　　　　 12分

上述（1）式中，，，全为正，所以

　 13分

∴　　　　　　　 14分

得证．