河北省唐山一中2005—2006学年度高三年级摸底考试
数学（理科）
YCY
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.
1．抛物线
在点P（－1，1）处的切线与直线3x－y+1=0的夹角是 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．
的值为 （ ）
A．0 B．
C．1 D． 2
3．在
的展开式中，
的系数是 （ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
4．设复数
，若z为纯虚数，则a的值为 （ ）
A．－8 B．－5 C．－4 D．－1
5．已知函数
在区间（－∞，1
内是连续函数，则a的值为
（ ）
A．2 B．1 C． D．
6．高三某班有学生50人，其中男生30人，女生20人，为了调查这50名学生的身体状况，
现采用分层抽样的方法，抽取一个容量为20的样本，则该班某男生甲被抽中的概率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．某机器生产的螺栓长度ξ服从正态分布N（10.05，0.062）（单位：cm），规定螺栓长度在
10.05±0.12（cm）范围内为合格品，则该机器生产的螺栓中，任取一个螺栓为合格品
的概率是 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．省博物馆在下周内要接待师大附中等三所学校的学生参观，每天只安排一所学校，双休
日不安排，其中由于师大附中学生人数多，要连续参观两天，其余两学校各参观一天，
则不同的安排方案共有 （ ）
A．12种 B．24种 C．48种 D．60种
9．在钝角△ABC中，已知AB=
，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
|
③OD⊥BC； ④PA=2OD.
其中正确结论的个数共有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请把各题的正确答案填写在题中的
11．不等式
的解集是
.
|
的正方体的各个顶点都在同一个
球面上，则该球的表面积为 .
13．在某路段车辆检测点，对200辆汽车
的车速进行检测，检测结果表示为如
右频率分布直方图，则车速不小于
90km/h的汽车约有 辆.
14．已知两定点M（0，3），N（0，－3），若某曲线上存在点P，使PM－PN=4，则称该曲
线为“C型曲线”，给出下列曲线方程：①
；②y=x；③y2=4x；④
其中是“C型曲线”的方程序号是 .
15．已知
是定义在[－1，1]上的奇函数， 且当
[－1，1]时，
，又
，则的最大值是
；若对任意[－1，1]及
[－1，1]
都有
成立，则t的取值范围是
.
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（12分）
设函数
，其中
为常数.
（1）求证：对任意
都有
；
（2）若
求
的值.
17．（12分）
|
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，截面A1BC⊥侧面A1ABB1，AB=BC=a，直线AC和截面A1BC所成的角为60°.
（1）证明：BC⊥侧面A1ABB1；
（2）求顶点C1到截面A1BC的距离.
18．（14分）
设
为常数，函数
.
（1）当
时，求函数的极大值和极小值；
（2）若为增函数，求a的取值范围.
19．（14分）
|
（1）求随机变量ξ的分布列；
（2）求Eξ和Dξ的值.
20．（14分）
设动点P的坐标为（
，向量a=（x，0），b=（1，y）.
已知（a+ b）⊥（a－ b）.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设直线l: y=kx－1与点P的轨迹相交于A、B两点，点P的轨迹与x轴正半轴相交
于点M，试推断是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆恰好经过点M？若存
在，求k的值；若不存在，说明理由.
21．（14分）
设等差数列
的各项均为正数，其前n项为Sn，已知
（1）求数列的通项公式；
（2）设
，试推测
与
）的大小关系，
并证明你的结论.
数学（理）参考答案
一、选择题
1．C 2．B 3．D 4．A 5．D 6．C 7．A 8．B 9．C 10．B
二、填空题：
11．（－1，1）∪（2，+∞）； 12．
；13．60；14．②③；15．1；{
.}
三、解答题：
16．（1）将函数式化简，得
……………………3分
……………………………………6分
（2）若
（舍去）.……9分
…………………………12分
17．（1）在侧面A1ABB1内作AD⊥A1B，垂足为D，∵截面A1BC⊥侧面A1ABB1.
∴AD⊥截面A1BC，
AD⊥BC.………………………………………………3分
∵A1A⊥底面ABC，∴A1A⊥BC. 而AD和A1A是侧面A1ABB1内两相交直线，
∴BC⊥侧面A1ABB1.………………………………………………………………6分
（2）方法一：连CD，则CD是AC在截面A1BC内的射影，
由已知∠ACD=60°.………………………………………………………………10分
由（1）知AB⊥BC，又AB=BC=a，∴AC=
a.
在Rt△ADC中，AD=ACsin60°=
a.
∵B1C1∥BC，∴∵B1C1∥截面A1BC，∴点B1，C1与截面A1BC等距离，作B1E⊥A1B垂足为E，则B1E⊥截面A1BC，∵A1ABB1为矩形，∴B1E=AD=a.
故顶点C1到截面A1BC的距离是
a.……………………………………14分
方法二：作C1H⊥截面A1BC，垂足为H，连A1H.
∵A1C1∥AC，∴直线A1C1和截面A1BC所成的角为60°.
∵∠C1A1H=60°.…………………………………………………………9分
由（1）知，AB⊥BC，又AB=BC=a，∴AC=
，从而A1C1=.
在Rt△A1HC1中，C1H=A1C1sin60°=a.
故顶点C1到截面A1BC的距离是a.……………………………………12分
方法三：（向量法）
18．（1）当
时，
………………………2分
令
，则
解得
…………………………………………………………………4分
又的定义域是[0，+∞]，且当
时，
；
当
时，
；当
时，.
极大值
，极小值
………………7分
（2）若为增函数，则恒成立.
即
恒成立.
……………………………………10分
恒成立.
故a的取值范围是[1，
…………………………14分
19．（1）依题意，ξ的可能取值为7，8，9，10.且
P（ξ=7）=
，P（ξ=8）=
，
|
，P（ξ=10）=
…………………………8分
∴ξ的分布列为
（2）Eξ=7×
+8×
+9×+10×
=8.4.……………………………………11分
Dξ=（7－8.4）2×+（8－8.4）2×+（9－8.4）2×+（10－8.4）2×=0.84
…………………………………………………………………………………………14分
20．（1）由已知（a+ b）·（a－ b）=0，即3a2－b2=0.
故点P的轨迹方程是
………………………………6分
（2）
设点A（
，B（.则
.
且
…………………………7分
又M（
若以AB为直径的圆过点M，则
…………………………10分
化简整理，得
即
，
故存在实数
满足条件.…………………………………………14分
21．（1）设数列的公差为d（d＞0），
由已知
即
………………………………………………5分
（2）
，
……
由此猜想：当
时，
………………………………………………8分
证明：①当n=2时，
结论成立.
②假设当n=k（k≥2）时结论成立，即
则
时结论成立.
综合①②知，当时，；当n=1时，
………………14分