河北省石家庄市高中毕业班复习教学质量检测（二）

数学试卷

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题　共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．方程、）的解集为（　　）

A．　　　　　　　　　　　　B．{0}

C．　　　　　　　　　　　　　　　D．

2．复数，则在复平面内的对应点位于（　　）

A．第一象限　　　　　　　　　　　　　　B．第二象限

C．第三象限　　　　　　　　　　　　　　D．第四象限

3．设为等差数列的前项和，若，则等于（　　）

A．3　　　　　　　　B．9　　　　　　　　C．21　　　　　　　D．39

4．对于直线、和平面、，的一个充分条件为（　　）

A．∥∥　　　　　　　　B．

C∥　　　　　　　　　D．∥

5．在锐角中，若，则的取值范围为（　　）

A．　　　　　　　　　　　　　B．（1，）

C．　　　　　　　　　　　　　　D．（―1，1）

6．函数的一条对称的方程为，则以向量为方向向量的直线的倾斜角为（　　）

A．45°　　　　　　B．60°　　　　　　　C．120°　　　　　Ｄ．135°

7．若椭圆按向量平移后所得方程为，则向量等于（　　）

A．（1，－2）　　　　　　　　　　　　　B．（1，2）

C．（－1，2）　　　　　　　　　　　　　D．（―1，―2）

8．与双曲线有共同的渐近线，且经过点（－3，）的双曲线方程是（　　）

A．　　　　　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　　　　　D．

9．给出以下四个命题：

①若，则的取值范围是（1，）　②函数的单调递减区间为　③不等式的解集为（0，1）　④若，则

以上四个命题中正确命题的序号为（　　）

A．①④　　　　　　B．③④　　　　　　　C．②③　　　　　　D．①②

10．在正方体中，是底面的中心，、分别是棱、的中点，则直线（　　）

A．是和的公垂线

B．垂直于，但不垂直于

C．垂直于，但不垂直于

D．与、都不垂直

11．（理）设定义域、值域均为的函数的反函数为，且，则的值为（　　）

A．2　　　　　　　B．0　　　　　　　　C．－2　　　　　　D．

（文）已知]，则此函数的反函数为（　　）

A．

B．

C．

D．

12．某科研单位，欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部奖金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第七名恰好将奖金分完，则需拿出奖金（　　）

A．250万元　　　　　　　　　　　　　　B．252万元

C．254万元　　　　　　　　　　　　　　D．256万元

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上）

13．设、是两个不共线的向量，则向量与向量共线的充要条件是____________．

14．已知点是直线上的动点，、是圆的两条切线，为切点，为圆心，则当四边形的面积最小时点的坐标为__________．

15．已知两变量、之间的关系为，则以为自变量函数的最小值为__________．

16．四个不同的球，放入四个不同的盒子中，恰有两个空盒的放法种数是___________．

三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

（理）一袋中装有6张同样的卡片，上面分别标有1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3张卡片，以表示取出的卡片中的最大标号．

（1）求的分布列；

（2）求．

（文）某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为．

（1）求甲、乙、丙恰有一名同学当选的概率；

（2）求甲、乙、丙至多两人当选的概率．

18．（本小题满分12分）

已知，若时，恒成立，求实数的取值范围．

19．（本小题满分12分）

如右图，正三棱柱的所有棱长均为2，是棱上的一动点．

（1）当在棱上运动时，是否有能与平面垂直，说明理由；

（2）当时，求线段的长；

（3）在（2）的条件下，求二面角的大小．（文科只需求出该角的一个三角函数值）．

20．（本小题满分12分）

一张形状为等边三角形的球桌，设其顶点为一个球从边的中点击出，击中边上的某点，并且依次碰出边于点，最后击中边于点，设，求的取值范围．

（文科只需求出的取值范围）

21．（本小题满分12分）

设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点与垂直的直线分别交椭圆和轴正半轴于，两点，且分向量所成的比为8∶5．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若过三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆方程．

22．（本小题满分14分）

（理）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．

（文）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．

参考答案

一、1．C　　2．Ｄ　　3．D　　4．C　　5．A　　6．D　　7．C　　8．A　　9．B　　10．A　　11．（理）B　（文）C　　12．C

二、13．　　14．（－3，－3）　　15．4　　16．84

三、17．（理）解：（1）；

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

所以的分布列为

	1	2	3	4	5	6
	0	0	0.05	0.15	0.3	0.5

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

(2)．　　　　　　　12分

(文)解：设甲、乙、丙当选的事件分别为、和．

（1）．　　　　　　　　　　　　　　3分

因为事件相互独立，恰有1名同学当选的概率为

　　　　8分

．

答：恰有一名同学当选的概率为．　　　　　　　　　　　　　　　9分

（2）至多有两人当选的概率为

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

18．解：当时，恒成立，即恒成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分

设，

则．　　　　　　　　　　　　　　4分

由得或．　　　　　　　　　　　　　　　　　　5分

∴当时，，此时为增函数；

当时，，此时为减函数；　　　　　　　　　7分

当时，，此时为增函数．　　　　　　　　　　8分

∴，

又∵．

∴当时，有最大值2．　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

由得或．　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

19．解：（1）无论在的任何位置都不能与平面垂直．

反证法：假设平面，则，必有与重合；平面，则必有，即与矛盾．　　　3分

（2）连结交于点，则，又，　　　　　4分

∴平面，且垂足为．

∴．取的中点，连结、，则面而为在面内的射影，由三垂线逆定理知，而四边形为正方形，　7分

∴易见为棱的中点．

∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

（3）由（2）知，面，过作于，连则所求二面角的平面角，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　9分

在中（如右图），

∴

在中，，

．　　　　　　　　　　　　　　　　11分（文12分）

∴所求二面角大小是．　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

20．解：由为等边三角形及入射角等于反射角易见∽∽，2分

∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3分

不失一般性，设等边的边长为2，且，

则有，且

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

在中，由正弦定理得

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

而，　　　　　　　　　　　　　（文12分）

即．　　　　　　　　12分

21．解：（1）设点其中．

由分所成的比为8∶5，得，　　　　　　　　　　　2分

∴．①，　　　　　　　　　　　　　4分

而，

∴．．②，　　　　　　　　　　　5分

由①②知．

∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

（2）满足条件的圆心为，

，　　　　　　　　　　　　　　8分

圆半径．　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

由圆与直线：相切得，，

又．

∴椭圆方程为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

22．（理）解：设公差为，则．　　3分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分

又．

∴，当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分

∴．　　　　　　　　　　　　13分

当数列首项，公差时，，

∴的最大值为．　　　　　　　　　　　　　　　　14分

（文）解：设公差为，则．　　　3分

，　　　　　　　　　　　6分

又．

∴．

当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　11分

∴．　　　　　　　　　　　　　13分

当数列首项，公差时，．

∴的最大值为．　　　　　　　　　　　　　　　　　14分