2005年潍坊市高三年级统一考试

数学试卷（理工农医类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题 共60分）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件A、B相互独立，那么 　 P（A·B）=P（A）·P（B） 如果事件A在一次试验中发生的概率 是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率

正棱锥、圆锥的侧面积公式 其中c表示底面周长，l表示斜高或母线长球的体积公式 其中R表示球的半径

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合U=R，集合　_UA=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

2．复数在复平面内的对应点位于　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．第一象限　　　　　　B．第二象限　　　　　　C．第三象限　　　　　　D．第四象限

3．已知向量的值为　　　　（　　）

　　　 A．1　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　D．

4．已知函数和，其中，则它们反函数的图象关于　　　（　　）

　　　 A．x轴对称　　　　　　 B．y轴对称　　　　　　 C．直线对称　D．原点对称

5．函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数a的取值范围是　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　 D．

6．等差数列，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差是　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．－　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．－1

7．设是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 ①若，则；　　　　　　②若l上两点到的距离相等，则；

　　　 ③若　　　　　　　　　　 ④若

　　　 其中正确的命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．①②　　　　　　　　　 B．②③　　　　　　　　　 C．②④　　　　　　　　　 D．③④

8．对某种产品的5件不同正品和4件不同次品一一进行检测，直到区分出所有次品为止. 若所有次品恰好经过五次检测被全部发现，则这样的检测方法有　　　　　　　（　　）

　　　 A．20种　　　　　　　　　B．96种　　　　　　　　　C．480种　　　　　　　　D．600种

9．棱长都为2的直平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，则对角线A₁C与侧面DCC₁D₁所成角的正弦值为　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

10．椭圆的左准线为l，左、右焦点分别为F₁，F₂，抛物线C₂­的准线为l，焦点是F₂，C₁与C₂的一个交点为P，则PF₂的值等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．4　　　　　　　　　　　　D．8

11．若函数,则函数的图象与函数的图象的交点个数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．2　　　　　　　　　　　　B．3　　　　　　　　　　　　C．4　　　　　　　　　　　　D．无数个

12．如图，南北方向的公路l，A地在公路的正东2km处，

　　B地在A地东偏北30°方向2km处， 河流沿岸

PQ（曲线） 上任一点到公路l和到A地距离相等.现

要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向A、B两地　　

转运货物，经测算从M到A， M到B修建公路的费

用均为a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低

是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

A．万元　　　　　　　　　　　　　　　　　B．万元

C．5a万元　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．6a万元

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13．如果把圆平移后得到圆C′，且C′与直线相切，则m的值为 　　　　　.

14．等比数列中，已知

=　　　　　　 .

15．锥体体积V可以由底面积S与高h求得：. 已知正三棱锥P—ABC底面边长为2，体积为4，则底面三角形ABC的中心O到侧面PAB的距离为　　　　.

16．若函数满足：

　　　 对于任意成立，则称函数具有性质M.

　　　 给出下列四个函数：①，②③，④.

　　　 其中具有性质M的函数是　　　　　　 .

　　　 （注：把满足题意的所有函数的序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

　　　 经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：

排队人数	0—5	6—10	11—15	16—20	21—25	25人以上
概　　率	0.1	0.15	0.25	0.25	0.2	0.05

　　　 （I）每天不超过20人排队结算的概率是多少？

　　　 （Ⅱ）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？

18．（本小题满分12分）

　　　 正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，已知AB=2，E，F分别是D₁B，AD的中点，

.　　　　　　　　　　　　　

　　　 （I）建立适当的坐标系，求出E点的坐标；

　　　 （Ⅱ）证明：EF是异面直线D₁B与AD的公垂线；

　　　 （Ⅲ）求二面角D₁—BF—C的余弦值.

19．（本小题满分12分）

　　　 下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表（时间近似到0.1小时）

日期	1月1日	2月28 日	3月21 日	4月27 日	5月6 日	6月21 日	8月13 日	9月20 日	10月25日	12月21日
日期位置序号x	1	59	80	117	126	172	225	263	298	355
白昼时间y（小时）	5.6	10.2	12.4	16.4	17.3	19.4	16.4	12.4	8.5	5.4

　　　 （I）以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；

　　　（Ⅱ）试选用一个形如的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系.[注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算]

　　（Ⅲ）用（Ⅱ）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

20．（本小题满分12分）

　　　 设函数R.

　　　 （I）求函数的最值；

　　　 （Ⅱ）给出定理：如果函数在区间[]上连续，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在.

　　　 运用上述定理判断，当时，函数在区间内是否存在零点.

21．（本小题满分12分）

　　　 双曲线的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A（0，－b）,B（a,0）.

　　　 （I）求双曲线的标准方程；

　　　 （Ⅱ）设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ的中点. 若点M在直线上的射影为N，满足

　　　　  且，求直线l的方程.

22．（本小题满分14分）

　　　 设的图象上任意两点，且，已知点M的横坐标为.

　　　 （I）求证：M点的纵坐标为定值；

　　　 （Ⅱ）若；

　　　 （Ⅲ）已知为数列的前n项和，若都成立，试求的取值范围.

数学试卷（理工农医类）参考答案及评分标准

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.

　　　 ADAAD　BDCCB　CC

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.

13．　　 14．　　  15．　 16．①③

三、解答题：本大题共6小题，共74分.

17．（本小题满分12分）

　　　 解：（I）每天不超过20人排队结算的概率为：P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，即不超过20

人排队结算的概率是0.75.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………4分

（Ⅱ）每天超过15人排队结算的概率为：

0.25+0.2+0.05=，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………6分

一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为；

一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为；

一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为；……………9分

所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：

，

所以，该商场需要增加结算窗口.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………12分

18．（本小题满分12分）

　　　 解：（I）以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A、B、C的坐标分别为A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）.

　　　 设D­₁（0，0，2m）（m>0），则E（1, 1, m）.

　　　

　　　 故E点坐标为（1，1，1）.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………4分

　　　 （Ⅱ）由（I）可知，正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁是棱长为2的正方体.

　　　 又∵FD=1， ∴F（1，0，0），

　　　

　　　 故EF是AD与D₁B的公垂线.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………8分

　　　 （Ⅲ）设n⊥平面FD₁B，n=（x，y，z）

　　　

　　　 取n₀=（2，－1，1），　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………10分

　　　 则n₀与所成角θ等于二面角D₁—FB—C的平面角，

　　　

　　　 ∴二面角D₁—BF—C的余弦值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………12分

　　　 解法二：（Ⅲ）延长CD交BF延长线于P，

　　　 作DN⊥BP于N，连ND₁，

　　　 ∵DD₁⊥平面ABCD，∴ND₁⊥BP，∴∠DND₁就是二面角D₁—FD—C的平面角.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………10分

　　　 在Rt△DFP中，DP=2，FD=1，FP=，　

　　　

　　　 ∴二面角D₁—BF—C的余弦值为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………12分

19．（本小题满分12分）

　　　 （I）画散点图见下面.

　　 ……………………4分

　　（Ⅱ）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为

　　　 ，

　　　 由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，

　　　 即，

　　　 由19.4－5.4=14，得A=7；

　　　 由19.4+5.4=24.8，得t=12.4；

　　　 又T=365，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………7分

　　　

　　　 　　　　……………………9分

　　　 （Ⅲ）

　　　 　　　　　　　　……………………11分

　　　 ∴该地大约有121天（或122天）白昼时间大于15.9小时.　　　……………………12分

20．（本小题满分12分）

　　　 解：（I）

　　　 令　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………2分

①

　　　

　　　 由①知f（x）无最大值.　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　……………………6分

　　　 （Ⅱ）函数f（x）在[m，2m]上连续.

　　　

　　　 上递增.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………8分

　　　 由　　　　　　　……………………10分

　　　 又

　　　 根据定理，可判断函数f（x）在区间（m，2m）上存在零点.　……………………12分

21．（本小题满分12分）

　　　 解：（I）依题意有：　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………2分

　　　 解得：

　　　 所以，所求双曲线的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………4分

　　　 （II）（法1）当直线轴时，，不合题意.

　　　 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为.

　　　 　 ①………………6分

　　　 因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以

　　　 设是方程①的两个正根，于是有

　　　 　　　　②…………………8分

　　　 因为

　　　 所以PM=MN=MQ=PQ=5.

　　　 又MN=x₀+2=5，即x₀=3，　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　……………………10分

　　　 而.

　　　 ②式，符合题意.

　　　 所以直线l的方程为：（x－2）.　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………12分

　　　

　　　 又.　　　　　　　　　　　　……………………9分

　　　 显然k=±3满足②式.

　　　

　　　 所以所求直线的方程为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………12分

22．（本小题满分14分）

　　　 （I）证明：M是AB的中点，设M点的坐标为（x，y）

　　　

　　　　

　　　 ∴M点的纵坐标为定值.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………4分

　　　 （II）解：由（I）知

　　　

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………8分

　　　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………9分

　　　 （III）

　　　

　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………11分

　　　

　　　 因此　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………14分