2005-2006年扬州中学高三第一学期数学期末模拟试卷

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2006．1

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．  已知全集 I ＝｛1，2，3，4，5，6，7｝， M ＝｛3，4，5｝，N＝｛1，3，6｝，则集合

｛2，7｝等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　 ）

A. 　 B. 　 C. 　　 D.

2．已知两点A（3，2）和B（－1，4）到直线距离相等，则m为（　 ）

　　　 A．　　　　　　 B．　 C．　 D．

3．锐角三角形的内角A、B 满足tan A -  = tan B,则有　　　　　  （　 ）

（A）sin 2A –cos B = 0　　　　　　 (B)sin 2A + cos B = 0

 (C)sin 2A – sin B = 0　　　　　　 (D) sin 2A+ sin B = 0

4. 把曲线ycosx +2y –1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到曲线方程为：（　　 ）

（A）（1-y）sinx+2y-3=0　　　　　　　  （B）（y-1）sinx+2y-3=0

（C）（1+y）sinx+2y+1=0　　　　　　　 （D）-（1+y）sinx+2y+1=0

5. 在等差数列中，若，则n的值为　 （　　）

　　A．14　　　 　 B．15　 　　　　　　C．16　 　　　　　D．17

6. 已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x－1，那么不等式f(x)<的解集是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （　 ）

　　A．{x0<x<}　　　　　　　　　　　 B．{x－<x<0}

　　C．{x－<x<0或0<x<}　　　　　　D．{xx<－或0≤x<}

7. 在空间，下列命题正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　A. 若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面

　　B. 若直线m与平面内的一条直线平行，则m//

　　C. 若平面，则过内一点P与l垂直的直线垂直于平面

　　D. 若直线a//b，且直线，则

8. 设函数f（x）=x³+x （x∈R）当时，f（msin）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的范围是：（　　）

（A）（0，1）　　（B）　　 （C）　　 （D）

9. 如图正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD所成角的  大小为（　 ）

　　A．30°　 B．　　C．60°　 D．

10. 过点M(1,2)的直线将圆(x－2)²＋y²＝9分成两段弧，当其中的　劣 弧最短时，直线的方程是　　　　（　　）

A .x＝1　　　 B.y＝1　　　　C.x－y＋1＝0　　　 D.x－2y＋3＝0

11. 在R上定义运算 ：xy=x(1－y)， 若不等式　(x－a)(x+a)<1 对任意实数x成立，　 则 （　　）

A．－1<a<1　　 B．0<a<2　　　C．　　 D．

12．设函数f (x)的定义域为D，如果对于任意的，使

　　成立，则称函数f (x)在D上均值为C，给出下列四个函数

　　　 ①　　　　　　　　 ②　　　　　③　　　　　　　 ④

则满足在其定义域上均值为2的所有函数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．①②　　　　　　　　　 B．③④　　　　　　　　　 C．②④　　　　　　　　　 D．①③

二．本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上。

13．已知为锐角，，，则=　　　　   

14. 已知的夹角的余弦值等于_________________。

15. 过点P(-1,2)且与曲线y=3x－4x+2在点M(1,1)处的切线垂直的直线方程是________

16． 一个正方体的全面积为，它的顶点全都在一个球面上，则这个球的表面积为____。

17． 过点（1，2）总可以作两条直线与圆 x²+y²+kx+2y+k²-15=0 相切 ，则实数k的取值范围是　　　　　　   

18．给出以下结论：

①通项公式为a_n=a₁()^n－1的数列一定是以a₁为首项，为公比的等比数列；

②函数是最小正周期为 ； ③函数y=在定义域上是单调递减的；

④； ⑤函数y =log(4－x²)的值域是［－2，+∞］.

其中正确的是　　　　　　　  。

三、解答题：本大题共6小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19．（12分）设向量，其中.

（I）求的取值范围；

（II）若函数的大小.

20．（12分）在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.

（1）证明：AC⊥SB；

（2）求二面角N—CM—B的大小；

（3）求点B到平面CMN的距离.

21．（14分）已知函数构成一个数列，又

　 （1）求数列的通项公式；

　 （2）比较与1的大小.

22．（14分）某森林出现火灾，火势正以每分钟的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？

23.（14分）已知倾斜角为的直线过点和点，其中在第一象限，且

（Ⅰ）求点的坐标；

（Ⅱ）若直线与双曲线相交于不同的两点，且线段的中点坐标为，求实数的值。

参考答案及评分标准

一．选择题：（每小题5分，共50分）

1．B  　2.B　 3. A  　　4.C　 5.B　 6.D　 7. D　 8.D　 　 9. B　  10. D　 11.C　 12.D

二. 填空题：

13. 　　　　 14. -　　 　　 15.　　　 16.　　　　 17.　(2,)(- ,-3)　　　　 18.④⑤

三．解答题：

19． 解：（I）∵　　　　（2分）

∴，　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （4分）

∵，∴

∴，∴。　　　　　 （6分）

（II）∵，

，　　　　　　　　　　　　　　 （8分）

∴，　　　　　　  （10分）

∵，∴，∴，

∴。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（12分）

20．解：（1）取AC中点D，连结SD、DB.

∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，

∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB-----------------------------4分

（2）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，

∴平面SDB⊥平面ABC.

过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，

过E作EF⊥CM于F，连结NF，

则NF⊥CM.

∴∠NFE为二面角N－CM－B的平面角---------------------------------------6分

∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.

又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.

∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.

在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，

在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，

∴二面角N—CM—B的大小是arctan2-----------------------------------8分

（3）在Rt△NEF中，NF==，

∴S_△CMN=CM·NF=，S_△CMB=BM·CM=2--------------10分

设点B到平面CMN的距离为h，

∵V_B-CMN=V_N-CMB，NE⊥平面CMB，∴S_△CMN·h=S_△CMB·NE，

∴h==.即点B到平面CMN的距离为-----------12分

21．解：（1）

　 

（2）

（错位相减）

22． 解：设派x名消防员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y，则

　　y＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费

　　 ＝125tx＋100x＋60（500＋100t）

　　 ＝

　　 ＝

　　 ＝

　　

　　当且仅当，即x＝27时，y有最小值36450．

　　故应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450

23． 解：(Ⅰ) 直线方程为，设点，　　　　　　

由　　　　　　　　　　　 　　　　　 

及，得，

∴点的坐标为　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（Ⅱ）由得，　　　　　　　　　　　

设，则，得，　

此时，，∴ 。　　　　　　　　　　　　 　　　　　

（注：缺少扣1分，这个不等式可解可不解。）