代数推理题怎么解
陕西永寿县中学 特级教师安振平
数学是“教会年轻人思考”的科学, 针对代数推理型问题, 我们不但要寻求它的解法是什么, 还要思考有没有其它的解法, 更要反思为什么要这样解, 不这样解行吗?我们通过典型的问题, 解析代数推理题的解题思路, 方法和技巧. 在解题思维的过程中, 既重视通性通法的演练, 又注意特殊技巧的作用, 同时将函数与方程, 数形结合, 分类与讨论, 等价与化归等数学思想方法贯穿于整个的解题训练过程当中.
例1设函数
，已知
，时恒有
，求a的取值范围.
讲解: 由
,
从而只要求直线L不在半圆C下方时, 直线L 的y截距的最小值.
当直线与半圆相切时，易求得
舍去）.
故
.
本例的求解在于
关键在于构造新的函数, 进而通过解几模型进行推理解题, 当中, 渗透着数形结合的数学思想方法,
显示了解题思维转换的灵活性和流畅性.
还须指出的是: 数形结合未必一定要画出图形, 但图形早已在你的心中了, 这也许是解题能力的提升, 还请三思而后行.
例2 已知不等式
对于大于1的正整数n恒成立，试确定a的取值范围.
讲解: 构造函数
，易证(请思考:用什么方法证明呢?)
为增函数.
∵n是大于1的 正整数，
对一切大于1的正整数恒成立，必须
,
即
这里的构造函数和例1属于同类型, 学习解题就应当在解题活动的过程中不断的逐类旁通, 举一反三, 总结一些解题的小结论. 针对恒成立的问题, 函数最值解法似乎是一种非常有效的同法, 请提炼你的小结论.
例3 已知函数
在区间[－b，1－b]上的最大值为25，求b的值.
讲解: 由已知二次函数配方, 得 
时，
的最大值为4b2+3=25.
上递增，
上递增，
.
关于二次函数问题是历年高考的热门话题, 值得读者在复课时重点强化训练. 针对抛物线顶点横坐标
在不在区间[－b，1－b], 自然引出解题形态的三种情况,
这显示了分类讨论的数学思想在解题当中的充分运用. 该分就分, 该合就合, 这种辨证的统一完全依具体的数学问题而定, 需要在解题时灵活把握.
例4已知
的单调区间；
（2）若
讲解: （1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 
,
（2）首先证明任意
事实上,
而 
.
函 数 与 不 等 式 证 明 的 综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新
, 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题 型 , 在 高 考
备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值.. 针对本例的求解, 你能够想到证明任意采用逆向分析法, 给出你的想法!
例5 已知函数f(x)=
（ａ＞０，ａ≠１）．
(1) 证明函数f(x)的图象关于点P(
)对称．
(2) 令an＝
，对一切自然数n，先猜想使an＞ｎ２成立的最小自然数a,并证明之．
(3) 求证：
∈Ｎ).
讲解: (1)关于函数的图象关于定点P对称, 可采用解几中的坐标证法.
设M(x,y)是f(x)图象上任一点，则M关于P()的对称点为M’（１－ｘ，１－ｙ），
∴Ｍ′(1-x,1-y)亦在f(x)的图象上，
故函数f(x)的图象关于点P()对称.
(2)将f(n)、f(1-n)的表达式代入an的表达式，化简可得an＝ａｎ猜a=3,
即3ｎ＞ｎ２．
下面用数学归纳法证明．
设n=k(k≥２)时，3ｋ＞ｋ２．
那么n=k+1，3ｋ＋１＞３·３ｋ＞３ｋ２
又3k２－（ｋ＋１）２＝２（ｋ－）２－
≥０（ｋ≥２，ｋ∈Ｎ）
∴３ｎ＞ｎ２.
(3)∵３ｋ＞ｋ２
∴ｋｌｇ３＞２ｌｇｋ
令k=1,2,…，n，得n个同向不等式，并相加得：
函数与数列综合型问题在高考中频频出现,是历年高考试题中的一道亮丽的风景线.针对本例,你能够猜想出最小自然数a=3吗? 试试你的数学猜想能力.
例6 已知二次函数
，设方程
的两个实根为x1和x2.
（1）如果
，若函数的对称轴为x=x0，求证：x0＞－1；
（2）如果
，求b的取值范围.
讲解:（1）设
，由得
, 即
，
故
；
（2）由
同号.
①若
.
又
，负根舍去）代入上式得
，解得
；
②若
即4a－2b+3＜0.
同理可求得
.
故当
对你而言, 本例解题思维的障碍点在哪里, 找找看, 如何排除? 下一次遇到同类问题, 你会很顺利的克服吗? 我们力求做到学一题会一类, 不断提高逻辑推理能力.
例7 对于函数，若存在
成立，则称
的不动点。如果函数
有且只有两个不动点0，2，且
（1）求函数的解析式；
（2）已知各项不为零的数列
，求数列通项
；
（3）如果数列
满足
，求证：当
时，恒有
成立.
讲解: 依题意有
,化简为 
由违达定理, 得
解得 
代入表达式
，由
得 
不止有两个不动点，
（2）由题设得
（*）
且
（**）
由（*）与（**）两式相减得：
解得
（舍去）或
，由，若
这与
矛盾，
，即{
是以-1为首项，-1为公差的等差数列，
；
（3）采用反证法，假设
则由（1）知
,有
，而当
这与假设矛盾，故假设不成立，
.
关于本例的第(3)题,我们还可给出直接证法,事实上:
由
得
<0或
结论成立；
若
，此时
从而
即数列{}在时单调递减，由
，可知
上成立.
比较上述两种证法,你能找出其中的异同吗? 数学解题后需要进行必要的反思, 学会反思才能长进.
例8 设a，b为常数，
：把平面上任意一点
（a，b）映射为函数
（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；
（2）证明：当
，这里t为常数；
（3）对于属于M的一个固定值
，得
，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象.
讲解: （1）假设有两个不同的点（a，b），（c，d）对应同一函数，即
与
相同，
即 
对一切实数x均成立.
特别令x=0，得a=c；令
，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立.
故不存在两个不同点对应同函数.
（2）当
时，可得常数a0，b0，使
=
由于
为常数，设
是常数.
从而
.
（3）设，由此得
在映射F之下，
的原象是（m，n），则M1的原象是
.
消去t得
，即在映射F之下，M1的原象
是以原点为圆心，
为半径的圆.
本题将集合, 映射, 函数综合为一体, 其典型性和新颖性兼顾, 是一道用“活题考死知识”的好题目, 具有很强的训练价值.
例9 已知函数f(t)满足对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(－2)=－2.
（1）求f(1)的值;
（2）证明：对一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t；
（3）试求满足f(t)=t的整数t的个数，并说明理由.
讲解 （1）为求f(1)的值，需令
令
.
令
.
（2）令
(※)
.
由
,
,
于是对于一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t.
（3）由※及（1）可知
.
下面证明当整数
.
(※)得
即
……，
将诸不等式相加得
.
综上，满足条件的整数只有t=1，
.
本题的求解显示了对函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1中的x、y取特殊值的技巧，这种赋值法在2002年全国高考第（21）题中得到了很好的考查.
例10 已知函数f（x）在（－1，1）上有定义，
且满足x、y∈（－1，1） 有
．
（1）证明：f（x）在（－1，1）上为奇函数；
（2）对数列
求
；
（3）求证
讲解 （1）令
则
令
则
为奇函数.
（2）
， 
是以－1为首项，2为公比的等比数列．
（3）
而 
本例将函数、方程、数列、不等式等代数知识集于一题，是考查分析问题和解决问题能力的范例. 在求解当中，化归出等比（等差）数列是数列问题常用的解题方法.