数学开放性问题怎么解

　　　 　　　　　　　　 陕西永寿县中学　　特级教师安振平

　　　

数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.

例 1 设等比数列的公比为  ，前 项和为 ，是否存在常数 ，使数列 也成等比数列？若存在，求出常数；若不存在，请　明 理 由.

　 讲解 存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的.

　 设存在常数， 使数列 成等比数列.

　 　　　 

　　

　　 (i) 当  时， 代入上式得

　　　　  即=0

但, 于是不存在常数 ，使成等比数列.

　　 (ii) 当 时，， 代 入 上 式 得

　　.

　　　 综 上 可 知 ,　存 在 常 数 ，使成等比数列.

　 等比数列n项求和公式中公比的分类, 极易忘记公比的 情 形, 可 不 要 忽 视 啊 !

例2　某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；

 (3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：

 (i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；

　　 (ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.

讲解 本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中经常遇到的问题.

　 （1）

　　　　　  =.　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 （2）解不等式　＞0,

得　　　 ＜x＜.

∵　x∈N， 　∴　3 ≤x≤ 17.

故从第3年工厂开始盈利.

（3）(i) ∵　≤40

当且仅当时，即x=7时，等号成立.

∴　到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元.

(ii)　　y=-2x²+40x-98= -2（x-10）² +102，

当x=10时，y_max=102.

故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元.

解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具.

例3　 已知函数f(x)= (x<-2)

(1)求f(x)的反函数f^-1(x);　

(2)设a₁=1,=-f^-1(a_n)(n∈N),求a_n;　

(3)设S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²,b_n=S_n+1-S_n是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N,有b_n<成立？若存在，求出m的值；若不存在说明理由.　

讲解　 本例是函数与数列综合的存在性问题, 具有一定的典型性和探索性.

(1)　y=,

∵x<-2，∴x= -,

即y=f^-1(x)=  -  (x>0).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)　∵ , ∴=4.

∴{}是公差为4的等差数列.

∵a₁=1,　∴=+4(n-1)=4n-3.

∵a_n>0 , ∴a_n=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(3)　 b_n=S_n+1-S_n=a_n+1²=, 由b_n<,得 m>对于n∈N成立.

∵≤5 ,

∴m>5,存在最小正数m=6,使得对任意n∈N有b_n<成立.

为了求a_n ,我们先求,这是因为{}是等差数列, 试问: 你能够想到吗? 该题是构造等差数列的一个典范.

例4  已知数列在直线x-y+1=0上.

（1）　　　 求数列{a_n}的通项公式；

（2）若函数

求函数f(n)的最小值；

　 (3)设表示数列{b_n}的前n项和.试问:是否存在关于n 的整式g(n), 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由. 　

　　讲解　从 规 律 中 发 现 ,从 发 现 中 探 索.

　 （1）

　　　

　　（2） ,

　　　　 ,

　　 .

　　

　　（3）,

　　  

　　  .

　　  

　　  

　　　

　　 故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立.

　　 事实上, 数列{a_n}是等差数列, 你知道吗？

　　例5　深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑. 请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.

　　讲解　设该城市有出租车1000辆，那么依题意可得如下信息：

		证人所说的颜色（正确率80%）
真 实 颜 色		蓝色	红色	合计
	蓝色（85%）	680	170	850
	红色（15%）	30	120	150
	合计	710	290	1000

从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为，而它是蓝色的概率为. 在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的.

本题的情景清新, 涉及到新教材中概率的知识, 上述解法中的列表技术显示了一定的独特性, 在数学的应试复课中似乎是很少见的.

　　例6  向明中学的甲、乙两同学利用暑假到某县进行社会实践，对该县的养鸡场连续六年来的规模进行调查研究，得到如下两个不同的信息图：

　 （A）图表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡;

　 （B）图表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个.

　 请你根据提供的信息解答下列问题：

　 （1）第二年的养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少？

　 （2）哪一年的规模最大？为什么？

　 讲解 （1）设第n年的养鸡场的个数为，平均每个养鸡场出产鸡万只，

　　 由图（B）可知, =30，且点在一直线上，

从而 

　　 由图（A）可知, 且点在一直线上，

于是　

　　 =（万只），（万只）

　　 第二年的养鸡场的个数是26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；

　　 （2）由（万只），

　　 第二年的养鸡规模最大，共养鸡31.2万只.

　　 有时候我们需要画出图形, 有时候我们却需要从图形中采集必要的信息, 这正反映了一个事物的两个方面. 看来, 读图与识图的能力是需要不断提升的.

例7 已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切，点C在l上.

　 （1）求动圆圆心的轨迹M的方程；

　 （2）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A，B两点.

　 （i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；

　 （ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.

讲解　本例主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，是解析几何中的存在性问题.

（1）由曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，知曲线M的方程为.

（2）（i）由题意得，直线AB的方程为 消y得

于是,　A点和B点的坐标分别为A，B（3，），

假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则BC=AB且AC=AB，

即有

① ②

　　

由①－②得

因为不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.

故知直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.

（ii）设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，

由

即当点C的坐标是（－1，）时，三点A，B，C共线，故.

　，

　，　 

　.

　(i) 当，即，

 即为钝角.

(ii) 当，即，

 即为钝角.

(iii)当，即，

 即.　 该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.

故当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是.

需要提及的是, 当△ABC为钝角三角形时, 钝角的位置可能有三个,需要我们进行一一探讨.

例8 已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足关系式　.

　 （1）求f（0），f（1）的值；

　 （2）判断的奇偶性，并证明你的结论；

　 （3）若，求数列{u_n}的前n项的和S_n.

讲解 本题主要考查函数和数列的基本知识，考查从一般到特殊的取特值求解技巧.

　 （1）在中,令得

　　　　　 .

　　 在中,令得

　　　　，有 .

　 （2）是奇函数,这需要我们进一步探索. 事实上 

　　 　 

　　　　

　　　　

　　　　故为奇函数.

（2）　　　 从规律中进行探究,进而提出猜想.

 由　　

　　　 ,

　　　　 ………………………………

猜测　.

于是我们很易想到用数学归纳法证明.

　　 1° 当n=1时，，公式成立；

　　 2°假设当n=k时，成立，那么当n=k+1时，

，公式仍然成立.

　　 综上可知，对任意成立.

　从而　 .

　　

　　 ，.

　　 故

　　　

例9　若、，

(1)求证：；

　　(2)令，写出、、、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；

　　(3)证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公比q的值.

讲解　(1)采用反证法. 若，即, 解得

从而与题设,相矛盾，

　 故成立.

 (2) 、、、、,

　　 .

（3）因为 又,

所以,

因为上式是关于变量的恒等式，故可解得、.

　　我们证明相等的问题太多了,似乎很少见到证明不相等的问题,是这样吗?

例10 如图，已知圆A、圆B的方程分别是动圆P与圆A、圆B均外切，直线l的方程为：．

（1）求圆P的轨迹方程，并证明：当时，点P到点B的距离与到定直线l距离的比为定值；

（2） 延长PB与点P的轨迹交于另一点Q，求的最小值；

（3）如果存在某一位置，使得PQ的中点R在l上的射影C，满足求a的取值范围．

　 讲解（1）设动圆P的半径为r，则｜PA｜＝ｒ＋，｜PB = r + ，

∴ PA －｜PB = 2．

∴ 点P的轨迹是以A、B为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右准线的右支，其方程为  （x ≥1）．若 , 则l的方程为双曲线的右准线, ∴点P到点B的距离与到l的距离之比为双曲线的离心率e = 2.

(2)若直线PQ的斜率存在，设斜率为k，则直线PQ的方程为y = k ( x－2 )代入双曲线方程, 得

由　 ，　解得＞３．　

∴　｜PQ｜＝．　

当直线的斜率存在时，，得，｜PQ＝６．

∴　｜PQ的最小值为６．　

（3）当PQ⊥QC时，P、C、Q构成Rt△.

∴　R到直线l的距离｜RC＝　①　

又　∵ 　点P、Q都在双曲线上，

∴　　．

∴　　，即　　．

∴　　　②　

将②代入①得　，｜PQ｜＝２－４a≥6．

故有ａ≤－１．

“如果存在”并不意味着一定存在, 如何修改本题使其成为不存在的范例呢? 问题的提出既能延伸我们的思绪, 更能完善我们的知识技能, 无形中使解题能力得到逐渐的提升.