荆州市 2006届高中毕业班质量检查（I）　

数　学　（理工农医类）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么P（A）·（B）=P（A）·P（B）

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

第I卷　　（选择题　共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项正确，每小题选出答案后，用2B铅笔把第Ⅱ卷上端答题卡上对应题目的答案标号涂黑。多涂、不涂或涂错均得0分。

1．　设A、B为两个非空实数集合，定义集合A·B=｛a·b｝a∈A，b∈B｝,若A=｛1，2，4｝，B=｛2，4，5｝，则A·B中元素的个数是

A．6　　　　　　　  B.7　　　　　　　　 C.8　　　　　　　 D.9

2．“a≤0”是“函数y=x²-2ax-3”在[0，1]上是单调函数”的

A．充分而不必要条件　　　　　　　  B.必要而不充分条件

C．充分必要条件　　　　　　  　　　D.既不充分也不必要条件

3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,并且在(0,+∞)上是单调函数,若f(0)=-2,f(1)=0,使得f(x)＜0的x的取值范围是

A.(- ∞,1)　　　　　　　　　　　　 B.(1,+ ∞)

C.( - ∞,-1)∪(1,+ ∞)　　　　　　 D.(-1,1)

4.在复平面内,复数对应的点位于

A.第一象限　　　　  B.第二象限　　　　  C.第三象限　　　　D.第四象限

5.设f^--！(x)是函数f(x)=a^x-a^-x(0＜a＜1＝的反函数,则使f^--1(x)< 1成立的x的取值范围是

A. (- ∞, )　　　　　　　　　 B. (,+ ∞)

C.( ,a)　　　　　　　　　　　 D.[a, + ∞)

6.函数f(x)=x³-6ax+3a在(0,1)内有极小值,则

A.0＜a＜1　　　　　　　　　　　　  B.a＜1 

C. a＞0　　　　　　　　　　　　　　　　  D. 0＜a＜

7．已知tan()=,则

A.　　　　　　　B. 　　　　　　　C. 1　　　　　　　　 D.2

8．在各项都为正数的等比数列｛a_n｝中，首项a₁=2，则a₃+a₄+a₅=　

A. 34　　　　　　  B. 56　　　　　　  C. 72　　　　　　　  D. 158

9． 当∈(0, ) 时，函数f(x)= 最小值是

A．　　　　　  B.  　　　　　C. 　　　　　　D.

10．函数f(x)= 　若,则m的所有可能值为

A.1，－1　　　　　　　　　　　　　　　　  B.　1，0，－1

C．　　　　　　　　　　　　　　 D.　1,

11．在f(x)=sinx，f(x)=2^x，f(x)=2_x+1，f(x)=log₂x，f(x)=x²这五个函数中，四个正实数x₁，x₂, ,满足x₁≠x₂，≠,则当时，使恒成立的函数的个数是

A．1个　　　　  B．2个　　　　　　 C．3个　　　　　  D．4个

12．已知函数与函数的单调区间相同且相同区间上单调性也相同，其中且，若有且仅有两个实数解，则实数和的取值范围分别是

A．　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　  D．

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数　　 学（理工农医类）

第II卷　 （非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

13. 数列满足，则数列的通项公式是.

14. 设函数图象关于点(1，３)对称，且在反函数，则.

15.设是定义在R上的奇函数，且，则.

16. 若函数 在区间  内单调递增，则的取值范围是　　　　　 　　 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分)

已知函数的值域是[0 ，2].

(1) 求实数和的值;

 (2) 设，求的值.

18. (本小题满分12分)

一台设备的正常运转由三个部件控制，在设备运转过程中，各部件正常工作的概率分别是0.9，0.8，0.7，只要有一个部件正常工作，这台设备就能正常运转，假设各部件的状态相互独立，用表示发生故障的部件数.

(1) 求这台设备正常运转的概率.

(2) 求的概率分布和数学期望.

19. (本小题满分12分)

定义在R上的函数满足，当时, =.

(1) 求在区间[2，6]上的解析式.

(2) 比较与的大小.

20. (本小题满分12分)

已知

(1) 若,求数列的前项和；

(2) 求.

21.(本小题满分12分)

已知函数.

(1) 求的单调区间和值域；

(2) 若函数在区间 [0，1] 上单调递减，设函数和在 [0，1] 上的值域分别为 和，且，求实数的取值范围.

22.(本小题满分12分)

已知函数In.

(1) 当时，是增函数，求实数的取值范围；

(2) 若=0，数列满足，证明：对一切，有

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数学试量（理）参考答案及说明

一、BADDB　　 DABAB　　AA

二、13． 　　 14． －1　　15．0　　　16．

三、17．解：（1）=

=　　　　  （4分）

　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（8分）

（2）由（1）知

　　

　　 　　 （12分）

18．解：用表示第i个部件正常工作的事件，（i=1，2，3）

则P（A₁）=0,9　 P(A₂)=0.8　　P(A₃) =0.7

（1这台设备正常运转的概率P=1－P

 =　　　　　　  （4分）

（2）P=

=0.9×0.8×0.7=0.504

=0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398

=0.1×0.2×0.7+0.9×0.2×0.3+0.1×0.8×0.3=0.092

　　　　　　　　　　  (8分)

	0	1	2	（10分）   3
P	0.504	0.398	0.092	0.006

 

=0.6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (12分)

19．解：（1）　 　　　　　　　（2分）

　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4分）

又　　 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（6分）

（2）由（1）知　 =30

　　　　

f ( log₃4+4) = 　　　　　　　　(8分)

又

　　  （10分）

　　 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （12分）

20．解：（1）当x=y时，，这时数列  的前n项和S_n=2x+3x²+4x³+…+nx^n-1+(n+1)xⁿ　　①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (2分)

　　①式两边同乖以x，得

　　xS_n =2x² +3x³+4x⁴+…nxⁿ + (n+1) xⁿ⁺¹　②

　　①式减去②式，得

　 （1－x）S_n=2x + x² + x³ +…+xⁿ－(n+1) xⁿ⁺¹

　　若x≠1

　　

　　　　　 （4分）

若x=1，

　　　　　　　　　　　　　　　　　  (6分)

（2）当x=y时，由（1），=（n+1）xⁿ，则

===　　　　　　　　　 (8分)

当x≠y时，

　　　　　　　　　　　　　　　　  （10分）

此时，

若x　>　y  >　0，则

==

　　 若 y >　x >　0，则

　　=　　　　　　　　　　　　　　　  （12分）

21．解：（1）　　

　　当，解得　　　　　　　　　　　　　　　　　  （4分）

　　当x变化时，的变化情况如下表；

x	0				1
		－	0	+
		↘	－ 4	↗

　　所以，当

　　　　　　　　　　　　　　　　　（8分）

　　（2）对函数g(x)求导 求导 =3（x²－a²）　

g(x)在 [0，1] 上单调递减

　　 　　（8分）

又g(x)在 [0，1]上是减函数

即　　　　　　　

而AB

解得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（10分）

又　　　　　　　 （12分）

22．解：（1）

则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （2分）

即上恒成立

时恒成立

　　　　

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (6分)

（2）

由题设知　当n= 1时，

假设 n=k 时，

在区间（0，1）上是单调递增函数

又

即In2<1　

，都有0<<1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (12分)

0<<1　   

综上，对一切，有　　　　　　　　　　　　　　 （14分）

注：解答题若有其它解法，只要思路清晰，方法正确，均可酌情给分。