江苏省苏州市部分重点中学2006届高三期中考试试卷
数 学 2005.11
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)已知平面向量,
,且
,则
的值为 ( )
A. B.
C.1 D.4
(2)已知集合,
,则
( )
A. B.
C.
D.
(3)已知函数,则下列命题正确的是 ( )
A.是周期为1的奇函数 B.
是周期为2的偶函数
C.是周期为1的非奇非偶函数 D.
是周期为2的非奇非偶函数
(4)设等差数列的前
项和为
,若
,则
等于 ( )
A.18 B.36 C.45 D.60
(5)函数的反函数 ( )
A.在上单调递增 B.在
上单调递减
C.在上单调递增 D.在
上单调递减
(6)设均为非空集合,且满足
,则下列各式中错误的是 ( )
A. B.
C. D.
(7)命题:
是
的充分不必要条件;
命题:在
中,如果
,那么
为直角三角形.则 ( )
A.“或
”为假 B.“
且
”为真 C.
假
真 D.
真
假
(8)设函数,则当
时,
的值应为 ( )
A. B.
C.
中的较小数 D.
中的较大数
(9)函数的图象的大致形状是 ( )
A B C D
(10)在中,
,则
边上的高为 ( )
A. B.
C.1 D.
(11)已知函数为奇函数,函数
为偶函数,且
,则
= ( )
A.2 B. C.4 D.
(12)为了稳定市场,确保农民增收,某农产品的市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关,且使
与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小.若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
价格(元/担) | 68 | 78 | 67 | 71 | 72 | 70 |
则7月份该产品的市场收购价格应为 ( )
A.69元 B.70元 C.71元 D.72元
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二.填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填写在答题卡相应的位置上.
(13) 若,则
▲ .
(14) 函数在区间
上的最大值为
▲ .
(15) 已知平面向量,若
,则实数
▲ .
(16) 已知集合,
,若
,则实数
的取值范围是
▲ .
(17) 已知分别是关于
的二次方程
的两实根的等差中项和等比中项,则
满足的关系式为
▲ .
(18) 若为
的各位数字之和
.如:因为
,所以
.记
,
,……,
,
,则
=
▲ .
三.解答题:本大题共5小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(19) (本小题满分12分)
设函数,其中向量
,
.
(Ⅰ)求函数的单调减区间;
(Ⅱ)若,求函数
的值域;
(Ⅲ)若函数的图象按向量
平移后得到函数
的图象,求实数
的值.
(20) (本小题满分12分)
在中,
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)当的面积最大时,求
的大小.
(21) (本小题满分14分)
设函数.
(Ⅰ)若,证明函数
有两个不同的极值点
,并且
;
(Ⅱ)若,且当
时,
恒成立,求
的取值范围.
(22) (本小题满分14分)
某市电信宽带私人用户月收费标准如下表:
方案 | 类 别 | 基本费用 | 超时费用 |
甲 | 包月制 | 70元 | |
乙 | 有限包月制(限60小时) | 50元 | 0.05元/分钟(无上限) |
丙 | 有限包月制(限30小时) | 30元 | 0.05元/分钟(无上限) |
假定每月初可以和电信部门约定上网方案.
(Ⅰ)若某用户每月上网时间为66小时,应选择 ▲ 方案最合算;
(Ⅱ)王先生因工作需要在家上网,所在公司预测其一年内每月的上网时间(小时)与月份
的函数关系为
.若公司能报销王先生全年上网费用,问公司最少会为此花费多少元?
(Ⅲ)一年后,因公司业务变化,王先生每月的上网时间(小时)与月份
的函数关系为
.假设王先生退休前一直从事此项业务,公司在花费尽量少的前提下,除为其报销每月的基本费用外,对于所有的超时费用,公司考虑一次性给予补贴
元,试确定最合理的
的值,并说明理由.
(23) (本小题满分14分)
已知函数,并且
,
,
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)是否存在各项均不为零的数列,满足
(
为数列
的前
项和).若有,写出数列的一个通项公式
,并说明满足条件的数列
是否唯一确定;若无,请说明理由.
江苏省苏州市部分重点中学2006届高三期中考试试卷
数学参考答案及评分标准
说明:
1.本解答仅给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容对照评分标准制订相应的评分细则.
2. 评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4. 给分或扣分均以1分为单位.选择题和填空题不给中间分.
一.选择题:每小题5分,满分60分.
题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答 案 | A | B | B | C | D | C | D | C | D | A | B | C |
二.填空题:每小题4分,满分24分.
(13) (14)3 (15)3或
(16) (17)
(18)11
三.解答题:
(19)本小题满分12分.
解:(Ⅰ) ……………………………………………………………1分
.……………………………………………………………2分
令 ,…………………………………………3分
得 .
因此,函数的单调减区间为
.………………………5分
(Ⅱ)当时,
,………………………………………………6分
∴ .……………………………………………………………7分
因此,函数的值域为
.……………………………………………………8分
(Ⅲ)函数的图象按向量
平移后得到的图象对应的函数是
.……………………………………10分
令 ,得
.…………………………………12分
(20)本小题满分12分.
解:(Ⅰ)由已知得
……………………………………………………………3分
因此,.……………………………………………………………… 4分
(Ⅱ),…………………………………………………………6分
………………………………………………………………8分
.…………………………………………………10分
(当且仅当时,取等号)…………………………………………11分
当的面积取最大值
时,
,
.………………12分
(21)本小题满分14分.
解:(Ⅰ)当时,
.
.……………………………………………………………1分
∵ ,
∴ 方程有两个不等的实数根
.…………………………………………3分
不妨设,则
.
当时,
;当
时,
;当
时,
.
∴ 是
的极大值点,
是
的极小值点.……………………………………4分
并且,.
因此,函数有两个不同的极值点
,并且
(当且仅当
时取等号).…………………………………………………………………………………7分
(Ⅱ)当时,
.
.………………………………………………8分
①若,则
在
上增函数,在
上为减函数,在
上为增函数.
在
上的最大值为
与
中的较大者.
而,
.
由在
上恒成立,得
……………………………………………………………………………9分
即.……………………………………………………………………………11分
②若,则
在
上为增函数.
在
上的最大值为
.
∵ ,∴
.
∴.
因此,不可能.…………………………………………………………………13分
综上所述,的取值范围是
.…………………………………………………14分
(22)本小题满分14分.
解:(Ⅰ) 乙 .……………………………………………………………………………2分
(Ⅱ)当时,选择丙方案合算;
当时,由
,得
,此时选择丙方案合算;
当时,选择乙方案合算;
当时,由
,得
,此时选择乙方案合算;
当时,选择甲方案合算.
综上可得:当,选择丙方案合算;……………………………………3分
当时,选择乙方案合算;……………………………………………4分
当时,选择甲方案合算.……………………………………………5分
∵,∴
是首项为
,公差为
的等差数列,且每月上网时间逐月递增.
令,得
.
∴前9个月选择乙方案,最后3个月选择甲方案上网花费最少.……………………7分
此时,一年的上网总费用为
.
答:一年内公司最少会为王先生花费上网费741元.……………………………………9分
(Ⅲ)由知,
,且
是递减数列,
∴选择丙方案合算.……………………………………………………………………10分
若上网个月,王先生的超时总费用为
.……………………………………………13分
答:公司考虑一次性给予补贴元,最合理的
的值为45元.……………………14分
(23)本小题满分14分.
解:(Ⅰ)由,得
.
由,
,得
,即
.……………………………3分
解得 .
因此,,
.……………………………………………………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.当
且
时,
,
.
设存在各项均不为零的数列,满足
.则
,即
(
且
).…………………………6分
首先,当时,
;……………………………………………………7分
由
,
,得
,即
.……………………………………………………………9分
若
,则由
,得
,这与
矛盾.………………………10分
若
,则
.
因此,是首项这
,公差为
的等差数列.
通项公式为
.
综上可得,存在数列,
符合题中条件.…………………………………11分
由上面的解答过程可知,数列只要满足条件
即可.
因此,可以数列一部分满足,另一部分满足
,且保证
且
.
例如:数列 ;
数列
因此,满足条件的数列不唯一.………………………………………………………14分