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03-04年高三数学(理)全国统一标准测试(二)

命题范围：第四章　平面向量；第五章　不等式

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页.共150分，考试时间120分钟.

参考公式：

sinαcosβ=［sin（α+β）+sin（α－β）］　　　　

cosαsinβ=［sin（α+β）－sin（α－β）］

cosαcosβ=［cos（α+β）+cos（α－β）］　　

sinαsinβ=－［cos（α+β）－cos（α－β）］

sinα+sinβ=2sin

sinα－sinβ=2cos

cosα+cosβ=2cos　

cosα－cosβ=－2sin

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

注意事项：

1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.不能答在试题卷上.

一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.为得到函数y=sinx+cosx的图象，只要将函数y=sinx－cosx按向量a平移，则a等于

A.（，0）　　　　  　　　　　　　　　　　　　B.（－，0）　　　　　

C.（，0）　　　　  　　　　　　　　　　　　　D.（－，0）

2.下列各组命题中，命题M是命题N成立的充要条件的一组命题是

A.M：a＞b；N:ac²＞bc²

B.M:a＞b，c＞d；N:a－d＞b－c

C.M:a＞b＞0，c＞d＞0；N:ac＞bc

D.M:a－b=a+b；N:ab≤0

3.设a，b∈R，现给出下列5个条件：①a+b=2；②a+b＞2；③a²+b²＞2；④ab＞1；

⑤log_ab＜0.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件为

A.②③④　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.②③④⑤

C.①②③⑤　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.②⑤

4.已知a=8，b=15，a+b=17，则a与b的夹角θ为

A.0　　 　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　 C. 　　　　　　　　　 D.

5.设f（x）=（）^x，a，b为正实数，A=f（），G=f（），H=f（），K=f（），则A、G、H、K的大小关系是

A.H≤G≤A≤K

B.A≤K≤H≤G

C.A≤K≤G≤H

D.K≤A≤G≤H

6.若关于x的方程a^2x+（1+）a^x+1=0（a＞0，a≠1）有解，则m的取值范围是

A.［－，0）　　　　　　　　　　　　　　　　 B.［－，0）∪（0，1］

C.（－∞，－］　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.［1，+∞）

7.在区间［－4，－1］上，函数f（x）=－x²+px+q与函数g（x）=x+同时取相同最大值，那么函数f（x）在区间［－4，－1］上的最小值为

A.－10　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.－5

C.－8　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.－32

8.在△ABC中，若∠B=60°，则sin²A+sin²C的取值范围是

A.（0，］　　 　　　　　　　　　　　　　　B.［］

C.［］　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.（］

9.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（－1，3），若点C满足，其中α，β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为

A.3x+2y－11=0

B.（x－1）²+（y－2）²=5

C.2x－y=0

D.x+2y－5=0

10.把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么，这两个正三角形面积之和的最小值是

A. cm²B. cm²

C.3 cm² D.4 cm²

11.已知函数y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数，它们的定义域为［－π，π］，且它们在x∈［0，π］上的图象如下图所示，则不等式＞0的解集为

A.（－，0）∪（，π）

B.（－π，－）∪（，π）

C.（－，0）∪（，π）

D.（－π，－）∪（0，）

12.某大学的信息中心A与大学各部门、各院系B，C，D，E，F，G，H，I之间拟建立信息联网工程，实际测算的费用如图所示（单位：万元），请观察图形，可以不建部分网线，而使得信息中心A与大学各部门、各院系连通（直接或中转），则最少的建网费用是

A.12万元　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.13万元

C.14万元　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.16万元

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）

13.已知M为△ABC边AB上一点，且△AMC的面积是△ABC面积的，则B分所成的比为______.

14.某邮局现只有邮票0.6元、0.8元、1.1元的三种面值邮票，现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴的邮票张数最少，且资费恰为7.50元，则应购买______张邮票.

15.已知三个不等式：①ab＞0；②；③bc＞ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成______个正确命题.

16.给出下列命题中

①（）+（）+；

②平行四边形ABCD中，有；

③矩形ABCD中，点集M={A，B，C，D}，则集合T={P，Q∈M，且P，Q不重合}中元素个数为8；

④“两个向量方向相反”是这两个向量共线的充分不必要条件.

其中正确命题的序号是______.（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

三、解答题(本大题共6小题;共74分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.（本小题满分12分）

已知a=3，b=2，a与b的夹角为120°，当k为何值时，

（1）ka－b与a－kb垂直；

（2）ka－2b取得最小值？并求出最小值.

18.（本小题满分12分）

在△ABC中，a²+b²=c²+ab，且sinAsinB=，试判定△ABC的形状.

19.（本小题满分12分）

在△ABC中，三边AB=8，BC=7，AC=3.以点A为圆心，r=1为半径做一个圆，设PQ为圆A的任意一条直径，记T=·，求T 的最大值和最小值，并说明当T取最大值和最小值时，PQ的位置特征是什么？

20.（本小题满分12分）

森林失火，火势以每分钟100 m²的速度迅速蔓延，消防队接到报警后立即派消防队员前去，在失火5分钟后赶到现场开始灭火.已知每位消防队员每分钟可灭火50 m²，所消耗的灭火材料等费用每人每分钟125元，另加每次灭火所消耗的车辆、器材和装备等费用平均每人100元，而每烧毁1 m²的森林直接损失费用为60 元，设消防队派x名消防队员前去救火，从到现场直至把火完全扑灭共用n分钟.

（1）写出x与n的关系式；

（2）问x为何值时，才能使总损失最小？

21.（本小题满分12分）

已知二次函数f（x）满足f（－1）=0，且x≤f（x）≤（x²+1）对一切实数x恒成立.

（1）求f（1）；

（2）求f（x）的解析表达式；

（3）证明.

22.（本小题满分14分）

已知不等式x+3＞2x①，≥1②，2x²+mx－m²＜0③.

（1）若同时满足不等式①、②的x值也满足不等式③，求m的取值范围；

（2）若满足不等式③的x值至少满足不等式①、②中的一个，求m的取值范围.

03-04年高三数学(理)全国统一标准测试(二)答案

一、1.B　2.D  3.D　4.D　5.D  6.A　7.C　8.D  9.D　10.B　11.D　12.B

二、13.－　14.8  15.3  16.①④

三、17.解：（1）∵ka－b与a－kb垂直，

∴（ka－b）·（a－kb）=0.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

∴ka²－k²a·b－b·a+kb²=0.

∴9k－（k²+1）×3×2·cos120°+4k=0.

∴3k²+13k+3=0.

∴k=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5分

∴当k=时，ka－b与a－kb垂直.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

（2）∵ka－2b²=k²a²－4ka·b+4b²

=9k²－4k×3×2·cos120°+4×4

=9k²+12k+16=（3k+2）²+12.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

∴当k=－时，ka－2b取得最小值为2.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

18.解：由余弦定理，得c²=a²+b²－2abcosC.

∵a²+b²=c²+ab，

∴ab－2abcosC=0.

∴cosC=，

∴C=60°　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

∵sinAsinB=，cos（A+B）=cos（180°－C）=cos120°=－，

cos（A+B）=cosAcosB－sinAsinB，

∴cosAcosB=. 8分

∴cos（A－B）=cosAcosB+sinAsinB=1.

∵－π＜A－B＜π，∴A－B=0.

∴A=B=60°.

∴△ABC是等边三角形.　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

19.解：.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

由余弦定理可得cosBAC=，所以∠BAC=60°　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

T=·=（）·（）

=…=12+（）－4

=8+·.

设与夹角为θ，则T=8+14cosθ.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

当θ=0即∥且同向时　T_最大=22　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

当θ=π即∥且反向时　T_最小=－6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

20.解：（1）由题意知5×100+100n=50nx　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3分

（2）设总损失费用为y元，则

y=125nx+100x+60（n+5）×100　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分

由（1）知n=，代入上式并整理得：

y=31450++100（x－2）≥31450+2=36450（元）　　　　　　　　10分

上式等号成立时，当且仅当=100（x－2）时.

所以当x=27时，才能使总损失最小.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

21.解：（1）取x=1，由1≤f（1）≤（1+1），所以f（1）=1　　　　　　　　　　　　 2分

（2）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）

因f（－1）=0，f（1）=1，

∴a+c=b=，　　　4分

∵f（x）≥x，对x∈R恒成立，

∴ax²+（b－1）x+c≥0对x∈R恒成立，

∴

∴6分

∵a＞0，ac≥＞0，∴c＞0.

∵a+c≥2≥2当且仅当a=c=时，等式成立

∴f（x）=，即f（x）=（x+1）²　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

（3）证明：∵

∴

.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

22.解：（1）不等式x+3＞2x①的解集为A={x－1＜x＜3，x∈R}；不等式≥1②的解集为B={x0≤x＜1或2＜x≤4，x∈R}则A∩B={x0≤x＜1或2＜x＜3}.　4分

设不等式③的解集为C，由题意知A∩BC

当m＞0时，得，∴m≥6；

当m=0时，C是空集，不合题意；

当m＜0时，，∴m≤－3.

由此得m≤－3或m≥6.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

（2）由（1）知A∪B={x－1＜x≤4}；

由题意知CA∪B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

当m＞0时，得，∴m＞8；

当m=0时，C是空集，不合题意；

当m＜0时，，∴m＜－4.

由此得m＜－4或m＞8. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　14分