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03-04年高三数学(理)全国统一标准测试(二)
命题范围:第四章 平面向量;第五章 不等式
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至8页.共150分,考试时间120分钟.
参考公式:
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]
sinα+sinβ=2sin
sinα-sinβ=2cos
cosα+cosβ=2cos
cosα-cosβ=-2sin
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.不能答在试题卷上.
一、选择题(本大题共12小题;每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.为得到函数y=sinx+cosx的图象,只要将函数y=sinx-cosx按向量a平移,则a等于
A.(,0) B.(-,0)
C.(,0) D.(-,0)
2.下列各组命题中,命题M是命题N成立的充要条件的一组命题是
A.M:a>b;N:ac2>bc2
B.M:a>b,c>d;N:a-d>b-c
C.M:a>b>0,c>d>0;N:ac>bc
D.M:a-b=a+b;N:ab≤0
3.设a,b∈R,现给出下列5个条件:①a+b=2;②a+b>2;③a2+b2>2;④ab>1;
⑤logab<0.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件为
A.②③④ B.②③④⑤
C.①②③⑤ D.②⑤
4.已知a=8,b=15,a+b=17,则a与b的夹角θ为
A.0 B. C. D.
5.设f(x)=()x,a,b为正实数,A=f(),G=f(),H=f(),K=f(),则A、G、H、K的大小关系是
A.H≤G≤A≤K
B.A≤K≤H≤G
C.A≤K≤G≤H
D.K≤A≤G≤H
6.若关于x的方程a2x+(1+)ax+1=0(a>0,a≠1)有解,则m的取值范围是
A.[-,0) B.[-,0)∪(0,1]
C.(-∞,-] D.[1,+∞)
7.在区间[-4,-1]上,函数f(x)=-x2+px+q与函数g(x)=x+同时取相同最大值,那么函数f(x)在区间[-4,-1]上的最小值为
A.-10 B.-5
C.-8 D.-32
8.在△ABC中,若∠B=60°,则sin2A+sin2C的取值范围是
A.(0,] B.[]
C.[] D.(]
9.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为
A.3x+2y-11=0
B.(x-1)2+(y-2)2=5
C.2x-y=0
D.x+2y-5=0
10.把长为12厘米的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么,这两个正三角形面积之和的最小值是
A. cm2 B. cm2
C.3 cm2 D.4 cm2
11.已知函数y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域为[-π,π],且它们在x∈[0,π]上的图象如下图所示,则不等式>0的解集为
A.(-,0)∪(,π)
B.(-π,-)∪(,π)
C.(-,0)∪(,π)
D.(-π,-)∪(0,)
12.某大学的信息中心A与大学各部门、各院系B,C,D,E,F,G,H,I之间拟建立信息联网工程,实际测算的费用如图所示(单位:万元),请观察图形,可以不建部分网线,而使得信息中心A与大学各部门、各院系连通(直接或中转),则最少的建网费用是
A.12万元 B.13万元
C.14万元 D.16万元
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)
13.已知M为△ABC边AB上一点,且△AMC的面积是△ABC面积的,则B分所成的比为______.
14.某邮局现只有邮票0.6元、0.8元、1.1元的三种面值邮票,现有邮资为7.50元的邮件一件,为使粘贴的邮票张数最少,且资费恰为7.50元,则应购买______张邮票.
15.已知三个不等式:①ab>0;②;③bc>ad.以其中两个作为条件,余下一个作为结论,则可以组成______个正确命题.
16.给出下列命题中
①()+()+;
②平行四边形ABCD中,有;
③矩形ABCD中,点集M={A,B,C,D},则集合T={P,Q∈M,且P,Q不重合}中元素个数为8;
④“两个向量方向相反”是这两个向量共线的充分不必要条件.
其中正确命题的序号是______.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)
三、解答题(本大题共6小题;共74分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知a=3,b=2,a与b的夹角为120°,当k为何值时,
(1)ka-b与a-kb垂直;
(2)ka-2b取得最小值?并求出最小值.
18.(本小题满分12分)
在△ABC中,a2+b2=c2+ab,且sinAsinB=,试判定△ABC的形状.
19.(本小题满分12分)
在△ABC中,三边AB=8,BC=7,AC=3.以点A为圆心,r=1为半径做一个圆,设PQ为圆A的任意一条直径,记T=·,求T 的最大值和最小值,并说明当T取最大值和最小值时,PQ的位置特征是什么?
20.(本小题满分12分)
森林失火,火势以每分钟100 m2的速度迅速蔓延,消防队接到报警后立即派消防队员前去,在失火5分钟后赶到现场开始灭火.已知每位消防队员每分钟可灭火50 m2,所消耗的灭火材料等费用每人每分钟125元,另加每次灭火所消耗的车辆、器材和装备等费用平均每人100元,而每烧毁1 m2的森林直接损失费用为60 元,设消防队派x名消防队员前去救火,从到现场直至把火完全扑灭共用n分钟.
(1)写出x与n的关系式;
(2)问x为何值时,才能使总损失最小?
21.(本小题满分12分)
已知二次函数f(x)满足f(-1)=0,且x≤f(x)≤(x2+1)对一切实数x恒成立.
(1)求f(1);
(2)求f(x)的解析表达式;
(3)证明.
22.(本小题满分14分)
已知不等式x+3>2x①,≥1②,2x2+mx-m2<0③.
(1)若同时满足不等式①、②的x值也满足不等式③,求m的取值范围;
(2)若满足不等式③的x值至少满足不等式①、②中的一个,求m的取值范围.
03-04年高三数学(理)全国统一标准测试(二)答案
一、1.B 2.D 3.D 4.D 5.D 6.A 7.C 8.D 9.D 10.B 11.D 12.B
二、13.- 14.8 15.3 16.①④
三、17.解:(1)∵ka-b与a-kb垂直,
∴(ka-b)·(a-kb)=0. 2分
∴ka2-k2a·b-b·a+kb2=0.
∴9k-(k2+1)×3×2·cos120°+4k=0.
∴3k2+13k+3=0.
∴k=. 5分
∴当k=时,ka-b与a-kb垂直. 6分
(2)∵ka-2b2=k2a2-4ka·b+4b2
=9k2-4k×3×2·cos120°+4×4
=9k2+12k+16=(3k+2)2+12. 10分
∴当k=-时,ka-2b取得最小值为2. 12分
18.解:由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC.
∵a2+b2=c2+ab,
∴ab-2abcosC=0.
∴cosC=,
∴C=60° 4分
∵sinAsinB=,cos(A+B)=cos(180°-C)=cos120°=-,
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB,
∴cosAcosB=. 8分
∴cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB=1.
∵-π<A-B<π,∴A-B=0.
∴A=B=60°.
∴△ABC是等边三角形. 12分
19.解:.
2分
由余弦定理可得cosBAC=,所以∠BAC=60° 4分
T=·=()·()
=…=12+()-4
=8+·.
设与夹角为θ,则T=8+14cosθ. 8分
当θ=0即∥且同向时 T最大=22 10分
当θ=π即∥且反向时 T最小=-6 12分
20.解:(1)由题意知5×100+100n=50nx 3分
(2)设总损失费用为y元,则
y=125nx+100x+60(n+5)×100 7分
由(1)知n=,代入上式并整理得:
y=31450++100(x-2)≥31450+2=36450(元) 10分
上式等号成立时,当且仅当=100(x-2)时.
所以当x=27时,才能使总损失最小. 12分
21.解:(1)取x=1,由1≤f(1)≤(1+1),所以f(1)=1 2分
(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
因f(-1)=0,f(1)=1,
∴a+c=b=, 4分
∵f(x)≥x,对x∈R恒成立,
∴ax2+(b-1)x+c≥0对x∈R恒成立,
∴
∴6分
∵a>0,ac≥>0,∴c>0.
∵a+c≥2≥2当且仅当a=c=时,等式成立
∴f(x)=,即f(x)=(x+1)2 10分
(3)证明:∵
∴
. 12分
22.解:(1)不等式x+3>2x①的解集为A={x-1<x<3,x∈R};不等式≥1②的解集为B={x0≤x<1或2<x≤4,x∈R}则A∩B={x0≤x<1或2<x<3}. 4分
设不等式③的解集为C,由题意知A∩BC
当m>0时,得,∴m≥6;
当m=0时,C是空集,不合题意;
当m<0时,,∴m≤-3.
由此得m≤-3或m≥6. 8分
(2)由(1)知A∪B={x-1<x≤4};
由题意知CA∪B 10分
当m>0时,得,∴m>8;
当m=0时,C是空集,不合题意;
当m<0时,,∴m<-4.
由此得m<-4或m>8. 14分