江苏省白蒲高级中学2005-2006年度高三模拟考试

数 学 试 卷

时间：120分钟　　总分：150分　

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。

1．设函数的定义域为集合M，集合N＝，则

　A．M　　　　　 　B．N　　　　　 　C．　　　　　D．

2．设非零向量、、，若，那么的取值范围为

A．[0，1]　　　　 B．[0，2]　　　　　 　C．[0，3]　　　　  D．[1，2]

3．甲、乙、丙、丁四名射击选手在选拨赛中所得的

	甲	乙	丙	丁
	8	9	9	8
S2	5.7	6.2	5.7	6.4

平均环数及其方差S²如下表所示，则选送参加

决赛的最佳人选是　

A．甲　　　 B．乙　　　C．丙　　　 D．丁

4．若、为空间两条不同的直线，、为空间两个不同的平面，则的一个充分条件是

A．且　　　　　　　　　B．且

C．且　　　　　　　　　 D．且

5．某班共有6个数学研究性学习小组,本学期初有其它班的3名同学准备加入到这6个小组中去,则这3名同学恰好有2人安排在同一个小组的概率是　　 

A．　　　　  B．　　　　  C．　　　　　 D．

6．在斜三角形ABC中，且，则∠A的值为

A．　　　　　  B．　　　　　  C．　　　　　  D．

7．我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设(a＞b＞0)为“优美椭圆”，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它短轴的一个端点，则∠ABF等于　　　　　　　　　

　　A．60°　　　　　　　　　 B．75°　　　　　　　　　　　 C．90°　　　　　　　　　 D．120°

　

8．是的导函数，的图象如图所示，

则的图象只可能是　　　　　　　　　　　　　

9．在1，2，3，4，5的排列，，，，，中，满足 <，>，<，>的排列个数是　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．10　　　　　　　　　　　　B．12　　　　　　　　　　　　C．14　　　　　　　　　　　　　D．16

10．设函数，若关于的方程

恰有3个不同的实数解，则等于（　　）

A．0　　　　　　 B．lg2　　　　　　 　　 C．lg4　　　　 　　　　　D．l

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填写在答题卡相应位置上.

11．某住宅小区有居民2万户，从中随机抽取200户，调查是否安装宽带，调查结果如下表所示：

宽带	动迁户	原住户
已安装	60	35
未安装	45	60

则该小区已安装宽带的户数估计有　　　　　　　　　 户

12．已知，坐标原点O在直线AB上的射影为点C，则＝______

13．右图是正方体的展开图，其中直线

AB与CD在原正方体中所成角的大小

是___________

14．已知点P(x,y)在曲线上运动,作PM垂直于x轴于M,则△POM(O为坐标原点)的周长的最小值为___________.

15．=___________

16．函数是定义在无限集合D上的函数，关且满足对于任意的，

①若则=　　　　　  ；

②试写出满足下面条件的一个函数存在，使得由，…，，…组成的集合有且仅有两个元素.这样的函数可以是=　　　　　  .

（只需写出一个满足条件的函数）

三、解答题：本大题共5小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）　已知的面积S满足，且，的夹角为．　　　 求：(1) 的取值范围；

(2)函数的最小值.

18.（本小题满分14分）　如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点.

（1）求证AM//平面BDE； （2）求二面角A-DF-B的大小；

（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是 60°.

19．（本小题满分14分） 

飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心（记为A，B，C），B在A的正东方向，相距6km,C在B的北偏东30⁰，相距4km,P为航天员着陆点，某一时刻A接到P的求救信号，由于B、C两地比A距P远，因此4s后，B、C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s.

（1）求A、C两个救援中心的距离；

（2）求在A处发现P的方向角；

（3）若信号从P点的正上方Q点处发出，则A、B

收到信号的时间差变大还是变小，并证明你的结论.

20．（本小题满分14分）

　　　设、是函数（a＞0）的两个极值点，且．

（I）证明：；

（II）证明：．

21．（本小题满分16分）　

设定义在R上的函数f(x)满足：①对任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x)·f(y)；　

②当x>0时,f(x)>1．数列{a_n}满足a₁=f(0),且f(a_n+1)=(n∈N*).

(Ⅰ)求f(0),判断并证明函数f(x)的单调性；

(Ⅱ)求数列{a_n}的通项a_n的表达式；

(Ⅲ)令是最接近,

设T_n=… +．

[答案]

17（1）　　（2）3

18．方法一

解: (1)记AC与BD的交点为O,连接OE,

　 ∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，

∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE。

∵平面BDE， 平面BDE，∴AM∥平面BDE。

(2)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，

∵AB⊥AF， AB⊥AD，

∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，

由三垂线定理得BS⊥DF。

∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。

在RtΔASB中，∴

∴二面角A—DF—B的大小为60º。

（3）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，

∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，

∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF。

在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ。

∵ΔPAQ为等腰直角三角形，∴又∵ΔPAF为直角三角形，

∴， ∴

所以t=1或t=3(舍去)即点P是AC的中点。

方法二 :建立如图所示的空间直角坐标系。

（2）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∴AB⊥平面ADF。

∴为平面DAF的法向量。

∵·=（·=0，

∴·=（·=0得

⊥，⊥，∴为平面BDF的法向量。

∴cos<,>=∴与的夹角是60º,即所求二面角A—DF—B的大小是60º。

（3）设P(t,t,0)(0≤t≤)得

∴=（，0，0）又∵和所成的角是60º。

∴解得或（舍去），

19. 解：（1）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则

　　

则

　　即A、C两个救援中心的距离为

（2），所以P在BC线段的垂直平分线上

又，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且

∴双曲线方程为

BC的垂直平分线的方程为

联立两方程解得：

∴∠PAB＝120°所以P点在A点的北偏西30°处

（3）如图，设

又∵

即A、B收到信号的

20．（1）＝ax²＋bx－a²，　 ∵　x₁，x₂是f (x)的两个极值点，

　　　∴　x₁，x₂是方程＝0的两个实数根．　　　　3分　　　　　 

　　　∵　a＞0，∴　x₁x₂＝－a＜0，x₁＋x₂＝－．　　∴　 x₁＋x₂＝ x₁－x₂＝．

　　　∵　 x₁＋x₂＝2，∴　＋4a＝4，即　b²＝4a²－4a³．

　　　∵　b²≥0，∴　0＜a≤1．　　  7分

（2）设g(a)＝4a²－4a³，则 　　　 g '(a)＝8a－12a²＝4a(2－3a)．

由g '(a)＞0Û0＜a＜，g '(a)＜0Û＜a≤1，得

g(a)在区间（0，）上是增函数，在区间（，1）上是减函数，　　10分

∴　g(a)_max＝g()＝．　　　∴ b≤．　　　　　　　　  14分

21． （本小题满分16分）

解(Ⅰ)令y=0,x=1得:f(1)=f(1)·f(0)f(1)(1-f(0))=0,

∵f(1)≠0, ∴f(0)=1

∵x>0时,f(x)>1

　　而由点到面①可知:1=f(0)=f(-x+x)=f (-x)·f(x)

∴f(x)=

∴x<0时,0<f(x)<1

∴x∈R时,0<f(x)

设x₁<x₂,由f(x₂)=f[x₁+(x₂-x₁)]=f(x₁)·f(x₂-x₁)

而x₁-x₂>0,∴f(x₂-x₁)>1

∴f(x₂)=f[x₁+(x₂-x₁)]=f(x₁)·f(x₂-x₁)>f(x₁)

∴f(x)在R上是单调递增函数.

(Ⅱ)因为数列{a_n}满足a₁=f(0)=1,且f(a_n+1)=

由(Ⅰ)可得f(a_n+1)=f(a_n+1)

即a_n+1=a_n+1

∴a_n+1-a_n=1(n∈N*)

∴a_n=n(n∈N*)

(Ⅱ)令bn=k(k∈N*)是最接近的正整数,

则k-

由于k,n都是正整数　　∴k²-k+1≤n≤k²+k

所以满足b_n=k的正整数n有k²+k-(k²-k+1)+1=2k个;

31²<1000<32²,32²-32+1=993

T₁₀₀₀=

=

==64+