2003年3月全国统一标准测试
数 学
（试验修订教材版）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.
参考公式：
sinαcosβ＝
［sin(α+β)+sin(α－β)］
cosαcosβ＝［cos(α+β)+cos(α－β)］
cosαsinβ＝［sin(α+β)－sin(α－β)］
sinαsinβ＝－［cos(α+β)－cos(α－β)］
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试卷上.
3.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知U=R，A={xx+2≥1},B={xx2－x－6＜0 }则(
UA)∪(UB)等于
A.{xx≤1或x≥3} B.{xx≤－3或x＞－2}
C.{xx＜－1或x≥3 } D.{xx＜1或x＞3}
2.设B分有向线段
的比为－3，A为平面内任一点，则
等于
A.
（
+2
） B.
(+2)
C. 
（+3） D.
(+2)
3.已知函数f(x)=x3－a图象的对称中心是(0,1),则f－－1(1)的值是
A.0
B.1
C.－1
D.
4.设f(x,y)=0是一个面积有限的图形D的圆锥曲线方程,则方程f(2x,2y)=0表示的曲线围成的图形面积是D的
A. 倍 B. 
倍
C.2倍
D.4倍
5.在△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，面ABC外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到面ABC的距离为
A.13 B.11 C.9 D.7
6.在等差数列{an}中，a10＜0,a11＞0且a11＞a10,数列{an}的前n项和为Sn,则使Sn＜0的n的最大值是
A.19 B.20 C.21 D.无穷大
7.将正四面体（棱长为3）的各棱长三等分，经过分点将原正四面体各顶点附近均截去一个棱长为1的小正四面体，则剩下的多面体的棱数为
A.16 B.17 C.18 D.19
8.某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率是
A.0.18 B.0.28 C.0.37 D.0.48
9.设椭圆
+
=1(a＞b＞0)的面积为abπ,过原点的直线与x轴正半
轴及椭圆围成的两区域面积分别设为S，t(如图1)，则S关于t的函数图象的大致形状为（阴影x轴上方为S，下方为t）
|
10.抛物线x2=2y上离点A（0，a）最近的点恰好是顶点，这个结论成立的充要条件是
A.a≤0 B.a≤ C.a≤2 D.a≤1
11.某大学的信息中心A与大学各部门、各院系B、C、D、E、F、G、H、I 之间拟建立信息联网工程.实际测算的费用如图2所示（单位：万元），请观察图形，可以不建部分网线，而使得中心与各部门、各院系都能连通（直接或中转），则最少的建网费用是
|
C.14万元 D.16万元
12.如图3，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到（0，1），而后它接着按图所示在x轴、y轴的平行方向来回运动，且每秒移动一个单位长度，那么2003秒时，这个粒子所处位置为
|
C.（44，22） D.（44，21）
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
| 题号 | 二 | 三 | 总分 | |||||
| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | |||
| 分数 | ||||||||
| 得分 |
| ||
13.已知集合M={0，1，2，3，4}，若A、w、
、k互不相等，且A、w、、k∈M，则满足周期、振幅都大于2的正弦曲线y=Asin(wx+)+k共有 条.
14.设双曲线－=1（0＜a＜b）的半焦距为k，直线l过（a、0）,(0、b)两点，若原点到l的距离为
c，则双曲线的离心率为_____.
15.如果C是（1+x）5的展开式中x3的系数而在总体中抽出一个样本：2、3、4、6、7，S2表示该样本的方差，SC2表示
［（2－C）2+（3－C）2+（4－C）2+（6－C）2+(7－C)2］，则S2与SC2的大小关系是_____.
16.若一个四面体的三个面是直角三角形，下列三角形：①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形.其中能成为这个四面体的第四个面的序号是_______________.（把你认为正确的序号都填上）
三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
| 得分 |
| ||
已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根.
已知q：方程4x2+4(m－2)x+1=0无实根.
若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围.
| 得分 |
| ||
在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若tan
=
且
a∶c=5∶8，求cosA的值.
| 得分 |
| ||
如图4，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成角为
,且侧面ABB1A1垂直于底面ABC.
（1）求证：点B1在平面ABC上的射影为AB的中点；
|
（3）判定B1C与C1A是否垂直，并证明你的结论.
| 得分 |
| ||
某企业有一车间原有3位员工，每位员工年薪1万，从今年起，年薪每年比上一年增加10%，同时每年新招收3名员工，每位新员工第一年年薪为8千元，第二年开始拿与老员工一样的年薪。
（1）填写下表（以今年作为第一年）
|
| 第一年 | 第二年 | 第n年 | ||||
| 老员工数(人) | 6 | ||||||
| 新员工数(人) | 3 | ||||||
| 工资总额Tn(万元) | 3×1.1+3×0.8 | 6×1.12+3×0.8 |
(2)如果企业今年向每位员工收取90元作为住房基金，且今后每年比上一年多收取10元。请问：企业每年向该车间员工收取的住房基金总额不会超过这一年付给他们的工资总额的1%？试说明理由.
| 得分 |
| ||
已知Rt△PAQ的顶点P（－3，0），点A在y轴上，点Q在x的正半轴上，∠PAQ=90°.在AQ的延长线上取点M，使QM=2AQ.
（1）当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹C；
（2）轨迹C上是否存在两点关于直线x+y=4对称？若存在求出此两点，若不存在说明理由.
| 得分 |
| ||
已知函数f(x)=
(a,b,c∈N*)的图象按向量a=（－1，0）平移后得到的图象关于原点对称.f(2)=2, f(3)＜3.
(1)求a、b、c的值；
(2)设0＜x＜1,0＜t≤1,求证：t+x+t－x＜f(tx+1).
(3)设x是正实数，求证：fn(x+1)－f(xn+1)≥2n－2(n∈N*)