北京市海淀区高三第二学期期末练习

数学

2003．5

学校______________班级______________姓名______________

参考公式：

三角函数的和差化积与积化和差公式：

棱台体积公式：

其中S，S′分别表示棱台的上、下底面的面积；h表示高

球体积公式：

其中R表示球的半径

第I卷（共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为。那么向量对应的复数是（）

（A）1　　（B）-1

（C）（D）

（2）（理科学生作）的值为（）

（A）（B）

（C）　（D）

（文科学生作）函数的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为（）

（A）{-1，0，3}（B）{0，1，2，3}

（C）{y-1≤y≤3}（D）{y0≤y≤3}

（3）在等比数列中，，，那么等于（）

（A）27　　　（B）-27

（C）81或-36 （D）27或-27

（4）将函数的图象C向左平移一个单位后，得到y=f(x)的图象，若曲线关于原点对称，那么实数a的值为（）

（A）1　（B）-1

（C）0　（D）-3

（5）（理科学生作）在极坐标系中与圆相切的一条直线的方程是（）

（A）（B）

（C）（D）

（文科学生作）过点（2，1）的直线中，被截得的最长弦所在的直线方程是（）

（A）3x-y-5=0（B）3x+y-7=0

（C）x+3y-5=0（D）x-3y+1=0

（6）将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生。那么互不相同的分配方案共有（）

（A）252种（B）112种

（C）70种 （D）56种

（7）设平面，点A、B∈平面α，点C∈平面β，且A、B、C均不在直线l上。给出四个命题：

①②

③④

其中正确的命题是（）

（A）①与②（B）②与③

（C）①与③（D）②与④

（8）函数f(x)是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数。若f(x)在[-1，0]上是减函数，那么f(x)在[2，3]上是（）

（A）增函数　　　　 （B）减函数

（C）先增后减的函数 （D）先减后增的函数

（9）设双曲线（a>0，b>0）的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列。那么这个双曲线的离心率e等于（）

（A）2　（B）3

（C） （D）

（10）设函数（a为实常数）在区间上的最小值为-4，那么a的值等于（）

（A）4　（B）-6

（C）-4 （D）-3

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

（11）将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球，那么这个球的体积为________________。

（12）椭圆上到两个焦点距离之积最小的点的坐标是________________。

（13）不等式的解集为________________。

（14）已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c。若a=1，∠B=45°，△ABC的面积S=2，那么△ABC的外接圆的直径等于________________。

三、解答题：本大题共6个小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（15）（本小题满分12分）

已知等差数列的前n项和为，且，，

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设，且数列的前n项和为，求证：是等比数列；并求的值。

（16）（本小题满分14分）

设在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且满足

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）（理科学生作）若A=2C，试求角B的值。

（文科学生作）若A+C=90°，试求角C的值。

（17）（本小题满分16分）

如图，在正四棱柱中，，点E，M分别为，的中点，过点，B，Ｍ三点的平面交于点N

（Ⅰ）求证：EM∥平面；

（Ⅱ）求二面角的正切值；

（Ⅲ）（理科学生作）设截面把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为，，求的值。

（文科学生作）设，求棱台的体积V。

（18）（本小题满分12分）

用分期付款的方式购买一批总价为2300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%。若首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批房实际支付多少万元？

（19）（本小题满分16分）

已知曲线C的方程为：

（Ⅰ）若曲线C是椭圆，求k的取值范围；

（Ⅱ）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；

（Ⅲ）（理科学生作，文科学生不作）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P，Q关于直线l：y=x-1对称，若存在，求出过P，Q的直线方程；若不存在，说明理由。

（20）（本小题满分14分）

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，

（I）求当x<0时，f(x)的解析式；

（Ⅱ）试确定函数y=f(x)（x≥0）的单调区间，并证明你的结论；

（Ⅲ）（理科学生作，文科学生不作）若，且

证明：。

高三数学第二学期期末练习

参考答案及评分标准

2003．5

一、选择题（每小题5分，共50分）

1．D2．A3．D4．B5．A6．B7．D8．A9．C10．C

二、填空题（每小题4分，共16分）

（11）

（12）（±5，0）

（13）

（14）

三、解答题（共84分）

（15）（本小题满分12分）

解：（I）设的公差为d，则，

解得：　　…………………………………………4分

∴………………………………………6分

（Ⅱ）　…………………………………………8分

∵

∴是等比数列，公比…………………………10分

…………………………12分

（16）（本小题满分14分）

解：（I）由得…………2分

……………………4分

∵

即（*）……………………………………6分

（Ⅱ）依条件A=2C得

（*）式可以化为……………………8分

∵，

故…………………………10分

∵sinC≠0　∴

则：且………………………………12分

∴C=30°，A=60°，推得B=90°…………………………………14分

（Ⅱ）（文科）若A+C=90°则…………………………8分

（*）式可以化为

即…………………………12分

推得且0°<2C<180°故C=30°或60°…………………14分

（17）（本小题满分16分）

（I）证明：设的中点为F，连接EF，

∵E为的中点

∴

又

∴

∴四边形为平行四边形

∴…………………………2分

∵，

∴EM//平面…………………………………………4分

（Ⅱ）解：作于H，连接BH

∵，∴

∴为二面角的平面角…………………………………………7分

∵，

平面，∴

又∵，∴

又∵，∴四边形是平行四边形

∴…………………………………………10分

设，则，

在中，，∴

在中，

在中，……………………12分

（Ⅲ）延长与交于P，则P∈平面，且P∈平面

又∵平面 ∴P∈BM

即直线，，BM交于一点P

又∵平面，∴几何体为棱台（没有以上这段证明，不扣分）

∵　

棱台的高为

∴…………………………14分

∴

∴………………………………16分

（Ⅲ）（文科）∵，∴

　…………………………14分

…………………………………………16分

（18）（本小题满分12分）

解：购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额顺次构成数列，…………………………………………2分

故（万元）

（万元）

（万元）

（万元）…………………………………4分

…　　　　 …　　 …　

（万元）

…………………………7分

因此是首项为120，公差为-1的等差数列，

故（万元）………………8分

（万元）

20次分期付款的总和为

（万元）……………………11分

实际要付300+2210=2510（万元）…………………………………………12分

答：略

（19）（本小题满分16分）

（I）当k=0或k=-1或k=4时，C表示直线；……………………………………1分（文科2分）

当k≠0且k≠-1且k≠4时方程为

（1）………………………………………………3分（文科5分）

方程（1）表示椭圆的充要条件是即是0<k<2或2<k<4

……………………………………………………6分（文科8分）

（Ⅱ）方程（1）表示双曲线的充要条件是

即k<-1或-1<k<0或k>4

（i）当k<-1或k>4时，双曲线焦点在x轴上，，，

其一条渐近线的斜率为得k=6…………………………8分（文科12分）

（ii）当-1<k<0时，双曲线焦点在y轴上，，，

其一条渐近线的斜率为，得k=6（舍）…………………………10分（文科14分）

综上得双曲线方程为………………………………………………11分（文科16分）

（Ⅲ）若存在，设直线PQ的方程为：y=-x+m

消去y，得（2）……………………13分

设P，Q的中点是，则，M的直线l上，∴，

解得，方程（2）的△>0，∴存在满足条件的P、Q，直线PQ的方程为

……………………………………………………16分

（20）（本小题满分14分）

解：（I）若x<0则-x>0，

∵f(x)是偶函数，∴

……………………………………3分（文科5分）

（Ⅱ）设，是区间上的任意两个实数，且，

则

………………………………5分（文科8分）

当时，而及

∴即f(x)在[0，1]上为减函数……………………………………7分（文科11分）

同理，当时，，

即f(x)在上为增函数………………………………9分（文科14分）

（Ⅲ）∵f(x)在是增函数，由x≥2得

又，-7x<0∴，

∴………………………………………………11分

∵，∴且即

∴

∴………………………………14分

囿有篇幅，每题只给出一种解法，若有其它作法，请酌情相应给分。