北京市东城区2002年高三总复习练习一
数学（理工农医类）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第II卷3至8页。共150分。考试时间120分钟。
第I卷 （选择题共60分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：
三角函数的和差化积公式
，
，
，
，
正棱台、圆台的侧面积公式
其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长
台体的体积公式
其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高
第I卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．数轴上三点A、B、C的坐标分别为2、3、5，则点C分有向线段
所成的比为
A．
B．
C．
D．
2．已知函数y=f(x)的反函数为
，则f(1)等于
A．0 B．1 C．-1 D．4
3．若数列
的前n项和公式为
，则
等于
A．
B．
C．
D．
4．设
，则S等于
A．
B．
C．
D．
5．函数y=arccos(x-1)图象的对称中心的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．两圆ρ=sinθ与ρ=1的位置关系是
A．相交 B．内切 C．外切 D．内含
7．已知圆台的轴截面是上、下底边长分别为2和4，底角为60°的等腰梯形，则圆台侧面展开图的面积为
A．24π B．8π C．6π D．3π
8．已知图①中的图象对应的函数为y=f(x)，则图②中的图象对应的函数
在下列给出的四式中，只可能是
A．y=f(x) B．y=f(x) C．y=f(-x) D．y=-f(x)
9．已知正四棱台
的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为2，则它的一条侧棱
与截面
所成角的正弦值为
A．
B．
C．
D．
10．已知
，
，则α+β是
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
11．如图，已知多面体ABC-DEFG中，AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC//平面DEFG，平面BEF//平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则该多面体的体积为
A．2 B．4
C．6 D．8
12．椭圆
（a>b>0）的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为
A．
B．
C．
D．
第II卷（非选择题共90分）
注意事项：
1．第II卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
13．设复数
，则
在复平面内对应的点位于第__________象限。
14．将抛物线
绕其焦点按逆时针方向旋转90°后，所得抛物线的方程为____________________。
15．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出了四个三棱锥，则这五个点最多可以确定__________个平面。
16．已知集合A、B、C，A={直线}，B={平面}，C=A∪B，若a∈A，b∈B，c∈C，在下列命题中
①
②
③
④
正确命题的序号是__________________。（注：把你认为正确的序号都填上）。
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知△ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A、B、C成等比数列，且公比式
，
求证：
。
18．（本小题满分12分）
已知函数
，将y=f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=g(x)的图象。
（I）求y=g(x)的解析式及定义域；
（II）求函数F(x)=f(x)-g(x)的最大值。
19．（本小题满分12分）
在直三棱柱
中，∠ABC=90°，BC=2，
。D、F、G分别为
的中点，EF与
相交于H。
（I）求证：
；
（II）求证：平面EGF//平面ABD；
（III）求平面EGF与平面ABD的距离。
20．（本小题满分12分）
已知数列中，
且对任意自然数n都有
。数列
对任意自然数n都有
。
（I）求证数列是等比数列；
（II）求数列的通项公式；
（III）设数列前n项的和为
，求
的值。
21．（本小题满分12分）
运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为v千米/小时，2v千米/小时，10v千米/小时。每千米的运费分别为a元、b元、c元，且b<a<c。又这批海鲜在运输过程中的损耗为m元/小时。若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用（运费与损耗之和）互不相等。试确定使用哪种运输工具总费用最省。（题中字母均为正的已知量）
22．（本小题满分14分）
椭圆（a>b>0）与直线x+y-1=0相交于A、B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）。
（I）求证：满足上述条件的各椭圆过定点
；
（II）若椭圆的长轴长的取值范围是
，求椭圆离心率的取值范围。
参考答案：
一、
1．B 2．C 3．B 4．A 5．A 6．B 7．C 8．C 9．B 10．B 11．B 12．D
二、
13．四
14．
15．7
16．②
三、
17．证明：由已知，
，解得
则
，
………………………………………………………………………3分
……………………………………………………5分
…………………………………………9分
………………………………………………………………………………11分
…………………………………………………………………………………………12分
18．解：（I）由已知，将函数
进行坐标变换
得
，
。 （x>-2） ………………………………………………4分
（II）
（x>-1）
…………………………………………6分
∵x+1>0
……………………………………10分
当且仅当
，即x=0时取等号。
。 …………………………………………………………………12分
19．（I）证：由直三棱柱的性质，得平面ABC⊥平面
，又由已知，AB⊥BC，
∴AB⊥平面。
又
，
……………………………………………………2分
由已知，
在Rt△BCD与
中可求得
则
，即
。
又AB∩BD=B，
。 ……………………………………………………4分
（II）证：由
，在
中，求得
。
∴EF//BD …………………………………………………………………………………5分
而
，
，
∴EF∥平面ABD。 ……………………………………………………………………6分
∵G、F分别为
的中点，
∴
………………………………………………7分
而
，
，
∴GF//平面ABD………………………………………………8分
∵
，
，
∴平面EGF//平面ABD ……………………………………………………9分
（III）解：∵，平面EGF//平面ABD。
。
则HD为平行平面EGF与平面ABD之间的距离 ……………………………………10分
………………………………………………12分
20．（I）证明：
，（n=1，2，3，……）
∴是公比为
的等比数列 …………………………………………………………5分
（II）
。
。
由
得
。
解得
………………………………………………………………9分
（III）
…………………………………………………12分
21．解：设运输路程为S（千米），使用汽车、火车、飞机三种运输工具分别运输时各自的总费用分别为
（元），
（元），
（元）。
则由题意得
……………………………………………………………………………3分
∵a>b，且各字母均为正值，
，即
…………………………………………………………………6分
那么
中的最小值只可能是
。
。
令
，由c>b及各字母均为正值，
解得
∴当时，
当
时，
答：当时，用火车运输总费用最省 …………………………………………9分
当时，用飞机运输总费用最省 ………………………………………9分
22．（I）证明：由方程组
，消去y，并整理得
由直线与椭圆有两个交点，得
解得
设A、B两点的坐标分别为
、
则
，
① ……………………………………2分
由OA⊥OB得
② …………………………………………………3分
由A、B在直线x+y-1=0上，得
③
④…………………………………………………………………………4分
将③④代入②消去
，然后再将①代入，并化简得
……………………………………………………………………6分
，
即
则椭圆过定点（
） ……………………………………………………8分
（II）解：
，则
，即
。
。
由（I）得
。
将
代入消去
，得
整理后得
…………………………………………11分
由已知：
，得
，
，
……………………………………………………………………14分