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2003年普通高校招生数学(文)统一考试(全国卷)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．直线关于x轴对称的直线方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　B．　　　　　　 C．　　　　　　D．

2．已知　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　B．－　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　D．－

3．抛物线的准线方程是，则a的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．－　　　　　　　　　 C．8　　　　　　　　　　　　D．－8

4．等差数列{a _n}中，已知　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．48　　　　　　　　　　　B．49　　　　　　　　　　　 C．50　　　　　　　　　　　D．51

5．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F₁，F₂，∠ F₁MF₂=120°则双曲线的离心率为

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

6．设函数的取值范围是　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．（－1，1）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．

　　　 C．（－∞，－2）∪（0，+∞）　　　　　　　 D．（－∞，－1）∪（1，+∞）

7．已知　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

8．函数上的偶函数，则=　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．0　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C． 　　　　　　　　　　D．

9．已知点的距离为1，则a=　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　 D．

10．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为R，该圆柱的全面积为　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）一质点从AB的中点P₀沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P₁后，依次反射到CD、DA和AB上的点P₂、P₃和P₄（入射角等于反射角）.若P₄与P₀重合，则tgθ=　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　D．1

12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　B．4　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.

13．不等式的解集是　　　　.

14．的系数是　　　　 .

15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB²+AC²=BC²”

　　　 拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则　　　　　　　　　　　　　 .”

16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地

图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，

现有4种颜色可供选择，则不同的着色方

法共有　　　　种.（以数字作答）

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

　　　 已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁，AB=1，AA₁=2，点E为CC₁中点，点F为BD₁中点.

　　　 （I）证明EF为BD₁与CC₁的公垂线；

　　　 （II）求点D₁到面BDE的距离.

18．（本小题满分12分）

　　　 已知复数z的辐角为60°，且z－1是z和z－2的等比中项，求z.

19．（本小题满分12分）

　　　 已知数列满足

　　　 （I）求

　　　 （II）证明

20．（本小题满分12分）

　　　 已知函数.

　　　 （I）函数数的最小正周期和最大值;

　　　 （II）在给出的直角坐标系中，画出函数上的图象.

21．（本小题满分12分）

　　　 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南　　　　

方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

22．（本小题满分14分）

　　　 已知常数在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.