2003年普通高校招生数学(理)统一考试(上海卷)

（理工农医类）

　　本试卷共22道题，满分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷　（共110分）

一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得

4分，否则一律得零分。

1．函数的最小正周期T=　　　　　   .

2．若　　　　　   .

3．在等差数列中，a₅=3, a₆=－2,则a₄+a₅+…+a₁₀=　　　　　   .

4．在极坐标系中，定点A点B在直线上运动，当线段AB最短

　 时，点B的极坐标是　　　　　   .

5．在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于　　　　　   .（结果用反三角函数值表示）

6．设集合A={xx<4},B={xx²－4x+3>0}, 则集合{xx∈A且=　　　　　   .

7．在△ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC=　　　　　   .（结果用反三角函数值表示）

8．若首项为a₁，公比为q的等比数列的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a₁，公比q的一组取值可以是（a₁，q）=　　　　　   .

9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为　　　　　   .（结果用分数表示）

10．方程x³+lgx=18的根x≈　　　　　   .（结果精确到0.1）

11．已知点其中n的为正整数.设S_n表示△ABC外接圆的面积，则=　　　　　   .

12．给出问题：F₁、F₂是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F₁的距离等于9，求点P到焦点F₂的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由

　 PF₁－PF₂=8，即9－PF₂=8，得PF₂=1或17.

　 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内.

二、选择题（本大题满分16分）本大题共4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.

13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．y=tgx.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．y=cos(－x).

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．.

14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．α、β都垂直于平面r.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α, l∥β，m∥β.

15．a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂均为非零实数，不等式a₁x²+b₁x+c₁>0和a₂x²+b₂x+c₂>0的解集分别为集合M和N，那么“”是“M=N”的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．充分非必要条件.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．必要非充分条件.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 C．充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既非充分又非必要条件.

16．f()是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（）=af（）+b，则下

　　列关于函数g（）的叙述正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．若a<0,则函数g（）的图象关于原点对称.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．若a=－1，－2<b<0,则方程g（）=0有大于2的实根.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 C．若a≠0,b=2,则方程g（）=0有两个实根.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．若a≥1,b<2,则方程g（）=0有三个实根.

三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.

17．（本题满分12分）

　　已知复数z₁=cosθ－i，z₂=sinθ+i，求 z₁·z₂的最大值和最小值.

18．（本题满分12分）

　　已知平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B₁D⊥BC，直线B₁D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁的体积.

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分.

　　已知数列（n为正整数）是首项是a₁，公比为q的等比数列.

　 （1）求和：

　 （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

　　如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.

　 （1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱

　　　　宽l是多少？

　 （2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设

　　　　计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧

　　　　道的土方工程量最最小？

　　　（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）

21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.

　　在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知AB=2OA，且点B的纵坐标大于零.

　 （1）求向量的坐标；

　 （2）求圆关于直线OB对称的圆的方程；

　 （3）是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围.

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.

　 （1）函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由；

　 （2）设函数f(x)=a^x（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：

　　　　f(x)=a^x∈M；

　 （3）若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围.