北京东城02-03年高三数学模拟(三)

第I卷（选择题 共60分）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.

参考公式：三角函数的和差化积公式

正棱台、圆台的侧面积公式S台侧= 其中、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长 台体的体积公式 其中S′、S分别表示上、下底面积. h表示高.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）下列集合中表示空集的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（A）{0}　　　　　　　　 （B）　（C） （D）

（2）（理）的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（A）　　　　　　　　（B）　　　　　　　　（C）　　　　　　　　（D）

　　（文）已知的值等于　　　　　　　　　　　　　　　　

（A）　　　　　　　　　（B）－　　　　　　　 （C）　　　　　　　　　（D）－

（3）已知的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（A）0　　　　　　　　　　 （B）1　　　　　　　　　　 （C）－1　　　　　　　　 （D）

（4）（理）已知点A、B的极坐标分别是，那么线段AB的中点C的极坐标可以是　　　　　　　　　　　　　　

（A）　　　　　　（B）　　　　　（C）　　　　 （D）

　　（文）若，则A，B两点间的距离为　　　　　

（A）　　　　　（B）　　　　　（C）2　　　　（D）2

=1=

（5）将一张坐标纸折叠一次，使得点（0，2）与（－2，0）重合，且点（2002，2003）与点

（m,n ）重合，则m－n的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（A）1　　　　　　　　　　 （B）－1　　　　　　　　 （C）0　　　　　　　　　　 （D）－2

（6）已知直线a、b和平面M、N，且，那么　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（A）∥Mb⊥a　　　　　　　　　　　　　　　　（B）b⊥ab∥M

（C）N⊥Ma∥N　　　　　　　　　　　　　　　　（D）

（7）（1－2x）⁷的展开式中系数最大的项为第r+1项，则r等于　　　　　　　　　　　　　　　

（A）3　　　　　　　　　　 （B）4　　　　　　　　　　 （C）6　　　　　　　　　　 （D）7

（8）从不同品牌的4台快译通和不同品牌的5台录音笔中任意抽取3台，其中至少要有快译通和录音笔各1台，则不同的取法共有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（A）140种　　　　　　 （B）84种　　　　　　　 （C）70种　　　　　　　 （D）35种

（9）若一定是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（A）等边三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　（B）等腰三角形

（C）等腰三角形或直角三角形　　　　　　　 （D）直角三角形

（10）若复数z与它的共轭复数的最大值是

（A）2　　　　 （B）2　　　　　（C）2　　　　　　　（D）2

（11）若当P（m, n）为圆上任意一点时，不等式恒成立，则c的取值范围是　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　

（A）　　　　　　　　　 （B）

（C）　　　　　　　　　　　　　　　　　（D）

（12）已知ABCD—A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，P是A₁D₁上的定点，Q是C₁D₁上的动点，长为b（b是常数，0<b<a）的线段EF在棱AB上滑动，那么四面体PQEF的体积是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

（A）常量　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （B）变量且有最大值

（C）变量且有最小值　　　　　　　　　　　　　　 （D）变量且有最大值也有最小值

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

=2=

（13）已知椭圆有相同的离心率e，那么m的值为　　　　　  .

（14）设等差数列{a_n}的前n项和为S_n,若，则S₃₀的值是　　　　  .

（15）如图，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，P、Q分别是侧棱

AA₁，CC₁上的点，且A₁P=CQ，则四棱锥B₁—A₁PQC₁

的体积与多面体ABC—PB₁Q的体积的比值为　　　 .

（16）已知函数，

且的值是　　　　.

三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

　　　 解关于x的不等式

（18）（本小题满分12分）

　　　 设函数

　　　 （I）求;

　　　 （II）判断上的单调性并用函数单调性定义加以证明.

（19）（本小题满分12分）

　　　 某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用为每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出去的自行车就增加3辆.

　　　 为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费后的所得）.

（I）求函数的解析式及其定义域；

　　　 （II）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？

　　　　（必要时可参考以下数据28²=784，29²=841）.

（20）（本小题满分12分）

　　　 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上的一点，若A在PC，PB上的射影为D、E.

　　　 （I）求证：AD⊥平面PBC；

=3=

（II）若PA=AB=2，表示△ADE的面积，当取何值时，△ADE面积最大，最大面积是多少？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　

（21）（本小题满分13分）

　　　 已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点F且被抛

物线截得的弦长为3.

　　　 （I）求p的值；

　　　 （II）是否存在点M，使过点M的斜率不为零的任意直线交抛物线于P、Q两点，并且以PQ为直径的圆恰过抛物线的顶点？若存在，求出M点的坐标，若不存在，请说明理由.

（22）（本小题满分13分）

　　　 若分别表示数列的前n项的和，对任意正整数n，

　　　 （I）求数列的通项公式；

　　　 （II）在平面直角坐标系内，直线的斜率为,且与曲线有且仅有一个交点，与y轴交于点D_n，记;

　　　 （III）若.

=4=