朝阳区2002——2003年学第二学期高三综合练习（一）

数学（文史类）

2003．4

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至8页。共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：

三角函数的和差化积公式

正棱台、圆台的侧面积公式

其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式

其中S′、S分别表示上、下底面面积，h表示高

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数的共轭复数是

（A）1+2i（B）

（C）1-2i（D）

（2）若a>b>0，集合，，则表示的集合为

（A）（B）

（C）（D）

（3）函数f(x)是以π为周期的奇函数，且，那么等于

（A）（B）

（C）1（D）-1

（4）设a、b、c为三条不同的直线，α、β、γ为三个不同的平面，下面四个命题中真命题的个数是

①若α⊥β，β⊥γ，则α//β。

②若a⊥b，b⊥c，则a//c或a⊥c。

③若，b、，a⊥b，a⊥c，则α⊥β。

④若a⊥α，，a//b，则α⊥β。

（A）1个（B）2个

（C）3个（D）4个

（5）已知直线：，：，在直角坐标平面上，集合表示

（A）过和交点的直线集合

（B）过和交点的直线集合，但不包括直线

（C）平行直线的集合

（D）平行直线的集合

（6）如图是周期为2π的三角函数y=f（x）的图象，那么f（x）可以写成

（A）sin（x-1）

（B）sin（1-x）

（C）sin（-1-x）

（D）sin（1+x）

（7）圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是

（A）（B）

（C）（D）

（8）设椭圆的两焦点分别为（-2，1）、（2，1），两准线间的距离为13，则椭圆的方程是

（A）（B）

（C）（D）

（9）过点（0，2）的直线l与双曲线c：的左支交于不同的两点，则直线l的斜率的取值范围是

（A）（B）

（C）（D）

（10）若函数的图象关于直线对称，则a的值等于（）

（A）或（B）1或-1

（C）1或-2（D）-1或2

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

注意事项：

1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷中。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

（11）已知函数的定义域为R，值域为，则a的值为________________。

（12）直线ax+by+1=0被圆截得的弦长为8，则的值为____________________。

（13）要制造一个底面半径为4cm，母线长为6cm的圆锥，用一块长方形材料做它的侧面，这样的长方形的长与宽的最小值分别是_____________。

（14）抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如正比例函数，，，可抽象为。写出下列抽象函数是由什么特殊函数抽象而成的（填入一个函数即可）。

特殊函数	抽象函数

三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（15）（本小题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；

（Ⅱ）解不等式f(x)<0。

（16）（本小题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）将f(x)表示成cosx的整式；

（Ⅱ）若y=f(x)与y=g(x)=a(cosx+1)的图象在（0，π）内至少有一个公共点，试求a的取值范围。

（17）（本小题满分14分）

如图，AB是圆台上底面⊙的直径，C是⊙上不同于A、B的一点，D是下底面⊙上的一点，过D、A、C的截面垂直于下底面，M为DC的中点，AC=AD=2，∠DAC=120°，∠BDC=30°。

（Ⅰ）求证：AM⊥平面DBC；

（Ⅱ）求二面角A—DB—C的正切值；

（Ⅲ）求三棱锥D—ABC的体积。

（18）（本小题满分14分）

某加油站需要制造一个容积为的圆柱形储油罐，已知用来制作底面的铁板每平方米价格为40元，用来制作侧面的铁板每平方米价格为32元，若不计制作损耗。

（Ⅰ）设储油罐底面半径为x（m），材料成本价为y（元），试用变量x表示y；

（Ⅱ）问储油罐底面半径和高各为多少时，制作的储油罐的材料成本价y最低？

（19）（本小题满分14分）

已知函数。

（Ⅰ）求f（x）的反函数，并指出其定义域；

（Ⅱ）设数列的前n项和为，若对于所有大于1的自然数n都有，且，求数列的通项公式；

（Ⅲ）令，求：

（20）（本小题满分14分）

已知：如图，过椭圆c：（a>b>0）的左焦点F（-c，0）作垂直于长轴的直线与椭圆c交于P、Q两点，l为左准线。

（Ⅰ）求证：直线、、l共点；

（Ⅱ）若过椭圆c左焦点F（-c，0）的直线斜率为k，与椭圆c交于P、Q两点，直线、、l是否共点，若共点请证明，若不共点请说明理由。

朝阳区2002——2003学年第二学期高三综合练习（一）

数学（文史类）参考答案及评分标准

2003．4

一、选择题

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
B	C	C	A	D	B	D	A	D	C

二、填空题

11	12	13	14
a=-1或a=3		12cm，9cm	幂函数 指数函数（a>0且a≠1） 对数函数（a>0且a≠1） 正切函数f(x)=tgx

三、解答题

15．解：

（I）……………………………………………………2分

解得：x>1且x≠2。

∴函数f（x）的定义域为{xx>1且x≠2}。…………………………………………4分

（Ⅱ）f(x)<0，即。

（1）当1<x<2时，有0<x-1<1。………………………………………………6分

∴，。

∴原不等式显然成立，解为1<x<2。…………………………8分

（2）当x>2时，有x-1>1。………………………………………………10分

∴，。

∴原不等式变为。

即

解得x>3　…………………………12分

∴原不等式解集为{x1<x<2或x>3}。………………………………14分

16．（I）解：……………………………………2分

……………………………………4分

………………………………………………6分

……………………………………8分

。……………………………………10分

（Ⅱ）解：令g(x)=f(x)

a(cosx+1)=(2cosx-1)(cosx+1)。

∵x∈（0，π），

∴cosx+1≠0。

∴a=2cosx-1。………………………………………………12分

∴。

∴-3<a<1。

当-3<a<1时，y=f(x)与y=g(x)的图象在（0，π）内至少有一个公共点。

……………………………………………………14分

17．（I）证明：在△ADC中，AC=AD，M是DC的中点

∴AM⊥DC …………………………2分

∵平面DAC⊥平面ABC，

C为圆上异于A、B的一点，则有BC⊥AC，

∴BC⊥平面DAC，故BC⊥AM ……………………………………………………4分

∴AM⊥平面DBC。……………………6分

（Ⅱ）解：作MN⊥DB于N，连接AN，由三垂线定理可知AN⊥DB。

即。

数列是等差数列，公差为，。

∴。

即。……………………………………8分

当n≥2时，，

当n=1时，，满足

∴。………………………………10分

（Ⅲ）∵，

∴。

………………………………………………12分

∴。…………………………14分

20．解：（I）由方程组　

解得　或

则点，…………………………2分

直线的方程为，

直线的方程为。

………………………………4分

由方程组

解得。……………………………………6分

因为左准线l的方程为，所以直线与的交点在l上。

故直线，，l相交于一点。……………………8分

（Ⅱ）设点P、Q的坐标分别为，，不妨设。

直线，的斜率分别为、，则

，，

直线的方程为，

直线的方程为。

解得交点的横坐标为，

即。

……………………………………10分

直线PQ的方程为y=k(x+c)。

。

消去y得

设，方程（*）的二根为，，

由韦达定理得：，。……………………12分

∵点P，Q在直线PQ上，

∴，。

∴，

，其中，

，

。

∴，

因为左准线l的方程为，所以直线与的交点在l上。

故直线，，l相交于一点。……………………14分