朝阳区2002——2003学年第二学期高三综合练习（一）数学（理工农医类）

2003．4

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至8页。共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：

三角函数的和差化积公式

正棱台、圆台的侧面积公式

其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式

其中S′、S分别表示上、下底面面积，h表示高

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数的共轭复数是

（A）1+2i（B）

（C）1-2i（D）

（2）若a>b>0，集合，，则表示的集合为

（A）（B）

（C）（D）

（3）函数f(x)是以π为周期的奇函数，且，那么等于

（A）（B）

（C）1（D）-1

（4）设a、b、c为三条不同的直线，α、β、γ为三个不同的平面，下面四个命题中真命题的个数是

①若α⊥β，β⊥γ，则α∥β。

②若a⊥b，b⊥c，则a∥c或a⊥c。

③若，b、，a⊥b，a⊥c，则α⊥β。

④若a⊥α，，a∥b，则α⊥β。

（A）1个（B）2个

（C）3个（D）4个

（5）已知直线：，：，在直角坐标平面上，

集合表示

（A）过和交点的直线集合

（B）过和交点的直线集合，但不包括直线

（C）平行直线的集合

（D）平行直线的集合

（6）如图y=arcsin（sinx）的图象是

（7）圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是

（A）（B）

（C）（D）

（8）已知椭圆（θ为参数），点P是时对应的点，则直线OP的倾斜角为（O为坐标原点）

（A）（B）

（C）（D）

（9）过点（0，2）的直线l与双曲线c：的左支交于不同的两点，则直线l的斜率的取值范围是

（A）（B）

（C）（D）

（10）若函数的图象关于直线对称，则a的值等于（）

（A）或（B）1或-1

（C）1或-2（D）-1或2

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

注意事项：

1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷中。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

（11）已知函数的定义域为R，值域为，则a的值为________________。

（12）直线ax+by+1=0被圆截得的弦长为8，则的值为____________________。

（13）要制造一个底面半径为4cm，母线长为6cm的圆锥，用一块长方形材料做它的侧面，这样的长方形的长与宽的最小值分别是_____________。

（14）抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如正比例函数

，，，

可抽象为

。写出下列抽象函数是由什么特殊函数抽象而成的（填入一个函数即可）。

特殊函数	抽象函数

三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（15）（本小题满分14分）

解不等式

（16）（本小题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）将f(x)表示成cosx的整式；

（Ⅱ）若y=f(x)与的图象在内至少有一个公共点，试求a的取值范围。

（17）（本小题满分14分）

如图，AB是圆台上底面⊙的直径，C是⊙上不同于A、B的一点，D是下底面⊙上的一点，过D、A、C的截面垂直于下底面，M为DC的中点，AC=AD=2，∠DAC=120°，∠BDC=30°。

（Ⅰ）求证：AM⊥平面DBC；

（Ⅱ）求二面角A—DB—C的正切值；

（Ⅲ）求三棱锥D—ABC的体积。

（18）（本小题满分14分）

某加油站需要制造一个容积为的圆柱形储油罐，已知用来制作底面的铁板每平方米价格为40元，用来制作侧面的铁板每平方米价格为32元，若不计制作损耗。

（Ⅰ）问储油罐底面半径和高各为多少时，制作的储油罐的材料成本价最低？

（Ⅱ）若制作的储油罐底面铁板半径不能超过1.8m，那么储油罐底面半径的长为多少时，可使制作储油罐的材料成本价最低？

（19）（本小题满分14分）

已知函数。

（Ⅰ）求f（x）的反函数，并指出其定义域；

（Ⅱ）设数列的前n项和为，若对于所有大于1的自然数n都有，且，求数列的通项公式；

（Ⅲ）令，求：

（20）（本小题满分14分）

已知：如图，过椭圆c：（a>b>0）的左焦点F（-c，0）作垂直于长轴的直线与椭圆c交于P、Q两点，l为左准线。

（Ⅰ）求证：直线、、l共点；

（Ⅱ）若过椭圆c左焦点F（-c，0）的直线斜率为k，与椭圆c交于P、Q两点，直线、、l是否共点，若共点请证明，若不共点请说明理由。

朝阳区2002-2003学年第二学期高三综合练习（一）

数学（理工农医类）参考答案及评分标准

2003．4

一、选择题

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
B	C	C	A	D	B	D	A	D	C

　二、填空题

11	12	13	14
a = -1　或a = 3		12cm，9cm	幂函数 指数函数（a>0且a≠1） 对数函数（a>0且a≠1） 正切函数f (x) = tgx

三、解答题

15．解：……………………………………………………………………2分

解得：x > 1且x ≠2.……………………………………………………………………4分

（1）当1< x <2时，有0 < x –1 <1.……………………………………………………6分

　　 ∴，.

　　 ∴原不等式显然成立，解为1 < x < 2.……………………………………………8分

（2）当x > 2时，有x –1>1.…………………………………………………………10分

　　∴，.

　　∴原不等式变为.

即　　解得x > 3.……………………………………………………12分

∴原不等式解集为{x 1<x<2或x > 3}.………………………………………………14分

16．（I）解：…………………………………2分

　　　　　　　  ……………………………………………………4分

　　　　　　　 　 ………………………………………6分

　　　　　　　　

　　　　　　　　 =cos2x+cosx………………………………………………………8分

　　　　　　　　 =.……………………………………………10分

（II）解：令g (x) = f (x)

∵x∈（0，π），

∴0<1+cosx<2.

.……………………………………………………12分

，

a ≥ 2.

当且仅当，cosx=0，即当时，等号成立。

当a ≥2时，y = f (x)与y = g (x)的图象在（0，π）内至少有一个公共点。

…………………………………………………………………………………………14分

17．（I）证明：在△ADC中，AC=AD，M是DC的中点

　　　　∴AM⊥DC.………………………………………………2分

　　　　∵平面DAC⊥平面ABC，C为圆上异于A，B的一点，则有BC⊥AC，

　　　　∴BC⊥平面DAC，故BC⊥AM.……………………………………4分

　　　　∴AM⊥平面DBC.………………………………………………………6分

▲

（II）解：作MN⊥DB于N，连接AN，由三垂线定理可知AN⊥DB.

　　　∠MNA是二面角A—DB—C的平面角.…………………………………8分

在△ADC中，AC=AD=2，∠DAC=120°

∴，AM=1.

由BC⊥平面 DAC，可知BC⊥DC.

在Rt△DCB中，，∠BDC=30°，可得BC=2，从而.

∴.

∴二面角A—DB—C的正切值为.………………………………10分

（III）解：

　　　　  .……………………14分

18．（I）解：设圆柱形储油罐的底面半径为x米，高为h米，材料成本价为y元.

依题意有：，则。

∴……………………………………………………2分



…………………………………………………………4分

………………………………………………………6分

　　= 960π（元）。

当且仅当，即x = 2，h = 5时取等号.

答：当储油罐的底面半径为2米，高为5米，材料成本价最低.………………8分

（II）解：由（I）知，.当x = 2时，y取最小值960π元.

当x不超过1.8米时，即0 < x≤1.8.

下面探讨函数在（0，1.8]的单调性.……………………10分

设，

  …………………………………12分

∵，

∴，

∴，.

函数在（0，1.8]内为减函数。

答：当储油罐底面铁板半径为1.8米，材料成本价最低.…………………………14分

19．解：（I）设y = f (x)，，（x≥0）。

……………………………………………………………………………………………2分

　　 ∵x ≥0，

　　 ∴y ≥2.

　　 ∴.

　　 ∴.

　　 ∴f (x) 的反函数为，（x≥2）.…………………………4分

（II）∵，，

　　 ∴，.

　　 即.

数列是等差数列，公差为，.

∴.

即（n∈N）.……………………………………………………8分

当n≥2时，，

当n = 1时，，满足

∴（n∈N）.………………………………………………10分

（III）∵，

∴.

……………………………………………………………………………12分

∴.………………………………14分

20．解：（I）由方程组　解得　或

▲

则点，.………………………………2分

直线的方程为，

直线的方程为………………………………………4分

由方程组

解得.…………………………………………………………………………6分

因为左准线l的方程为，所以直线与在交点在l上。

故直线，，l相交于一点.……………………………………………………8分

（II）设点P、Q的坐标分别为，（），不妨设.

▲

直线，的斜率分别为，，则

，，

直线的方程为，

直线的方程为。

解得交点的横坐标为，

即

…………………………………………………………10分

直线PQ的方程为y =(x + c).

消去y.得（*）

设，方程（*）的二根为，，

由韦达定理得：，。………………12分

∵点P，Q在直线 PQ上，

∴，。

∴，

，其中，

，

。

∴，

因为左准线l的方程为，所以直线与的交点在l上。

故直线，，l相交于一点.………………………………………………14分