北京市东城区2002年高三总复习练习（二）

数学（理工农医类）

学校______　 班级________　 姓名_______

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至8页。共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：

三角函数的和差化积公式　　　　　　　　　 正棱台、圆台的侧面积公式

　　　　　　 

　　　　　  其中c'、c分别表示上、下底面周长，

　　　　  l表示斜高或母线长　 台体的体积公式：

　　 　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　  其中S' 、S分别表示上、下底面积，h表示高.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。（1）若角α与角β的终边关于y轴对称，则

（A） （B）

（C）（D）

（2）若圆锥的轴截面为直角三角形，则它的侧面展开图的圆心角为

 （A） （B）

（C）（D）π

（3）入射光线沿直线x-2y+3=0射向直线l:y = x，被直线l反射后的光线所在直线的方程是

（A）x+2y-3=0（B）x+2y+3=0（C）2x-y-3=0（D）2x-y+3=0

（4）已知，则的值是

（A）2（B）-2（C）（D）

（5）若共轭双曲线的离心率分别为和，则

（A）（B）（C）（D）

（6）函数的图象只可能是

（7）在极坐标系中，点A在曲线上，点B在曲线上，则AB的最小值是

（A）（B）

（C）（D）

（8）已知如图，∠C=90°AC=BC，M、N分别为BC和AB的中点，沿直线MN将△BMN折起，使二面角B′-MN-B为60°，则斜线B′A与平面ABC所成角的正切值为

（A）（B）

（C）（D）

（9）已知θ为第二象限角，且，那么的取值范围是

（A） (-1,0)（B）

（C）(-1,1)（D）

（10）已知函数对任意实数都有f(-x)=f(x), f(x)=-f(x+1)且在[0,1]上单调递减，则

（A） （B）

（C） （D）

（11）小王打算用70元购买面值分别为20元和30元的两种IC电话卡.若他至少买一张，则不同的买法一共有

（A）5种　（B） 6种

（C） 7种　（D）8种

（12）已知平面α及以下三个几何体：

①长、宽、高皆不相等的长方体

②底面为平行四边形但不是矩形和菱形的四棱锥

③正四面体

这三个几何体在平面α上的射影可以是正方形的几何体是

（A）①② （B） ①③

（C）②③（D）①②③

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

注意事项：

1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

（13）展开式中的第5项与第11项的二项展开式系数相等，则n=_____________.

(14)在直角坐标平面内，到点（1, 1）和直线x=-3距离相等的点的轨迹方程是_______.

（15）在等差数列与等比数列中，,（n=1,2,3……）则与的大小关系是__________________.

(16)如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：

①点H与点C重合

②点D与点M与点R重合

③点B与点Q重合

④ 点A与点S 重合

其中正确命题的序号是___________________.

（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分12分)

已知复数,满足，,求的值。

（18）（本小题满分12分）

解关于x的不等式：.其中a>0, a≠1.

(19) （本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P—ABCD中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC中点。

(Ⅰ)求证：PA//平面EDB；

(Ⅱ)求证：平面EDB⊥平面PBC；

(Ⅲ)求二面角D-PB-C的正切值.

(20)(本小题满分12分)

某房屋开发商出售一套50万元的住宅。可以首付5万元，以后每过一年付5万元，9年后付清；也可以一次付清，并优惠x%。问开发商怎样确定优惠率可以鼓励购房者一次付款.(按一年定期存款税后利率2%，一年一年续存方式计算.x取整数.计算过程中可参考以下数据：,,)

(21)(本小题满分12分)

已知双曲线 (a>0,b>0)的一条准线方程为，一个顶点一到一条渐近线的距离为。

(Ⅰ)求双曲线C的方程；

(Ⅱ)动点P到双曲C的左顶点A和右焦点F的距离之和为常数(大于AF)，且的最小值为，求动点P的轨迹方程.

(22) (本小题满分14分)

已知函数 .（a>0,a≠1）

(Ⅰ)证明函数y=f(x)的图象关于点对称；

(Ⅱ)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值；

(Ⅲ)若，求对任意自然数n，总有成立的最小自然数a的值，并给出证明.

北京市东城区2002年高三数学总复习练习(理工农医类)(二)

参考答案及评分标准

一、（1）A　（2）B　（3）C　（4）D　（5） D（6）B　（7）A　（8）B　（9）D

（10）B （11）C　（12） D　

二、（13） 14　　（14）　 （15）　 （16）②④

三、（17）解：设，.

由已知，得

，得

。

∴。……………………8分

可求得。………………10分

则

　　。………………12分

（用数形结合法作的，必须步骤完整，叙术清楚才能给满分）

（18）解：原不等式等价于

当0<a<1时，原不等式等价于

…………………………2分

………………………4分

当a>0时，有.

∴此时不等式的解为。……………………6分

当a>1时，原不等式等价于

…………………………8分

……………………10分

当a>1时，有

∴此时不等式的解为.

综上：当0<a<1时，原不等式的解为

当a>1时，原不等式的解为………………12分

（19）（Ⅰ）证：连AC交BD于O，连EO.由四边形ABCD为正方形，得O为AC中点在△PAC中，由中位线定理得EO//PA……………………2分

又EO平面EDB，PA平面EDB，

∴PA//平面EDB.…………………………………………4分

（Ⅱ）证：由平面PDC⊥平面ABCD，BC⊥DC，得BC⊥平面PDC.又DE平面PDC，则BC⊥DE. E为PC的中点，△PDC为正三角形，∴DE⊥PC. BC∩PC=C，∴DE⊥平面PBC.

又DE平面EDB，∴平面EDB⊥平面PBC.…………………………8分

（Ⅲ）作EF⊥PB于F，连DF，由DE⊥平面PBC及三垂线定理得DF⊥PB.∠DFE是所求二面角的平面角.

设BC=4，则PC=4.

在等边△PDC中求出.

在Rt△PFE中，∠EPF=45°，PE=2，可求出.

∴.……………………12分

（20）解：由题意得

……………………4分

…………………………6分

　　　

　　　.………………………………8分。

∴x%>15.97%.

答：一次付款的优惠率应不低于是16%.…………………………12分

（21）解：(Ⅰ)由已知得方程组

由(1)得 　 (3)

　　 并化简，得.　(4)

将(4)代入(3)，解得a=3.

∴b=4, c=5.

为所求.…………5分

（Ⅱ）由已知及椭圆定义得，点P的轨迹为椭圆.令椭圆的长轴长、短轴长和焦距分别为2a、2b和2c.可求得2c=5-(-3)=8.…………………………6分

设PA=m, PF=n, ∠APF=θ，由余弦定理，得

……………………7分

将m+n=2a代入上式，得

.……………………9分

当且仅当m=n=a是取等号.

由已知得方程

解得……………………10分

∴

求出椭圆中心的坐标为（1，0）.

则为所求.……………………12分

（22）（Ⅰ）证明：函数f(x)的定义域为全体实数.

任意一点（x, y）关于点对称的点的坐标为（1-x,-1-y）………………2分

由已知，，

则.

　　 

∴-1-y=f(1-x).

即函数y=f(x)的图象关于点对称.……………………5分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）有-1-f(x)=f(1-x),

即f(x)+f(1-x)=-1.

∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1.

则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3…………………………9分

（Ⅲ）解：

∴.…………………………………………………10分

由已知，a≠1.

当a=2时，，当n=2时不成立.

当a=3时，对任意自然数n都成立.

下面用数学归纳法证明.

当n=1时，左=3，右=1，3>1，不等式成立.

当n=2时，左=9，右=4，9>4，不等式成立.

令n=k(k≥2，k∈N)时不等式成立，即

则n=k+1时，，

当k≥2，k∈N时，上式恒为正值.

则左>右，即

所以对任意自然数n，总有成立.

当a>3时，总有成立.

所以使对任意自然数n都成立的最小自然数a的值等于3.

即对任意自然数n都成立的最小自然数a的值等于3.……………… 14分