高三第二学期期末练习
数 学
2002．6
学校________________ 班级_______________姓名_________________
参考公式:
三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式
，
其中
、
分别表示上、下底面周长，
表
示斜高或母线长
台体的体积公式
其中S/、S分别表示上、下底面积，h表示高
一.选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设全集I={1，3，5，7，9}，集合
={1,
，则
的值是
( )
(A) 2 (B) 8 (C) –2或8 (D) 2或8
(2)函数
的反函数的图象是
（ ）
|
y
y
y
y
x x
x x
(A) (B) (C) (D)
（3）(理)若点P 
在曲线
为参数)上，则使
取得最大值的点P的坐
标是 （ ）
(A) （6，-8） (B) （-6，8） (C)（3，-4） (D)（–3，4）
（文）若直线
与两坐标轴交点为A、B，则以线段AB为直径的圆的方程是（ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(4) 
展开式的第四项等于7，则
等于
（ ）
（A）-5
（B） 
（C）
（D）5
(5) （理）下列命题中，使命题M是命题N成立的充要条件是 （ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
（文）若
是任意实数，且
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
(6) （理）已知复数
，满足
，那么
在复平面上对应点(x,y)的轨
迹是 （ ）
(A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线
(文)复数
的辐角主值是
(A)
(B)
(C)
(D)
(7) 用半径为48cm的半圆形铁皮制作上口半径为8cm，下口半径为2cm 且母线长为36cm的漏斗（不考虑接缝损耗），则最多可作
( )
(A) 1个 (B)
2个 (C) 3个 (D) 4个
(8) 某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数目为
( )
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(9) （理）已知F1, F2是椭圆
的两个焦点，B是短轴的一个端点，则ΔF1BF2的面积的最大值为
( )
(A) 
(B) 
(C)100(3-2
) (D)
(文) 已知F1, F2是椭圆
的两个焦点, B是短轴的一个端点，则ΔF1BF2的面积的最大值为
( )
(A) 1
(B) 2 (C) 3 (D) 4
（10）ΔABC边上的高线为AD.BD=
CD=
且
,将ΔABC沿AD折成大小为
的二面角
B-AD-C.若
则棱锥A-BDC的侧面ΔABC是
( )
(A) 锐角三角形 (B) 钝角三角形 (C) 直角三角形 (D)形状与的值有关的三角形
(11) 数列{a n}中，a 1 = 1，S n是前n项和.当n >
2时，a n = 3S n，则
= ( )
(A)
-
(B) –2
(C) 1 (D) -
（12）对于抛物线C:
,我们称满足
的点
在抛物线的内部.若点在抛物线的内部，则关于直线
与C
( )
(A)恰有一个公共点 (B)恰有两个公共点
(C)可能一个公共点也可能两个公共点 (D)没有公共点
二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上.
(13) 如果
，那么
的值是 ____________.
(14) 圆锥与圆柱的底面半径都是
高都是
.已知它们的侧面积相等, 则
=_________.
(15) 双曲线与椭圆
有相同的焦点又过点（3，-1）,则双曲线的渐近线方程是________. (16 )无穷数列{a n}同时满足条件：①对于任意自然数n，都有-2 < a n < 4；②当n为正偶数时，an-1<an且a n > a n+1；③当n > 3时，a n > 0. 请写出一个满足条件的数列{a n}的通项公式：_____________.
三.解答题:本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17) (本小题满分12分)
(理科作) 解不等式：
.
(文科作) 解不等式：
.
(18) (本小题满分12分)
在ΔABC中,
的对边分别为
.若
.
(I) 求
的值;
(II) 设复数
,求
的值.
(19) (本小题满分12分)
如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成的角为
，且侧面ABB1A1垂直于底面ABC.
(I) 证明: AB
CB1;
(II) 求三棱锥B1-ABC的体积;
(III) 求二面角C-AB1-B的大小(文科求其正切值).
(20) (本小题满分12分)
某地区预计从明年初开始的前月内,对某种商品的需求总量
(万件)与月份近似关系为
.
(I) 写出明年第个月的需求量
(万件)与月份的函数关系;
(II) 求出哪个月份的需求量超过1.4万件,并求出这个月的需求量.
(21) (本小题满分12分)
设二次函数
，已知不论
为何实数,恒有
和
.
(I) 求证：b+c=-1;
(II) 求证：
;
（III）若函数
的最大值为8，求b,c值.
(22) (本小题满分14分)
(文科学生只作(I) (II)小题)
如图，BC是一条曲线段，点B在直线l上.点C到l的距离等于5,l外一点A到l的距离为2.对于曲线段BC上的任意一点P,总满足
,其中d是点P到直线l的距离.
(I) 建立适当的坐标系，写出l的方程及点A的坐标，并求出点B,点C的坐标；
(II) 求出曲线段BC的方程；
(III)
设另有一定点D，
,A、D位于l两侧，且点D到l的距离为a
，求曲线段BC上的点到点D的最近距离.
高三数学期末练习参考答案
2002．6
一． 选择题（每小题5分，共60 分）
(1) D (2) C (3) A (4) B (5) (理) D (文) B (6) D (文)A (7) C (8) A (9) B (10) C
(11) A (12) D
二． 填空题 (每小题4分，共16分)
(13) 
(14) 
(15) 
(16) 
三. 解答题
(17) 本小题满分12分
理 解：设
,则原不等式等价于
2分
则
7分
10分
∴ 
. ∴
∴原不等式的解集是
}
12分
(文)解:
设
, 则原不等式化为
2分
6分
∴
.
8分
∴
10分
.
12分
∴原不等式的解集是
}
（18）本小题满分12分
解: (I)由
1分
∴
. ∴
. 2分
∵A是 △ABC的内角, 
.
3分
由正弦定理知, 
.
4分
由
.
6分
(II) ∵
, 
8分
9分
故 
=
+
-1=0. 12分
(19) 本小题满分12分
解：(Ⅰ) 证明: 在平面B1A内,过B1作B1D⊥AB于D. 1分
∵侧面BA1⊥平面ABC, ∴B1D⊥平面ABC. 2分
∴∠B1BA是BB
与平面ABC所成的角, ∴∠B1BA=
.
3分
∵ 三棱柱的各棱长均为2,∴ 四边形ABB1A1是菱形. △ABB为正三角形.
∴ D是AB的中点,连结CD, 在正三角形ABC中, CD⊥AB.
∴ AB⊥CB1. 5分
(Ⅱ)解: ∵B1D⊥平面ABC, ∴B1D是三棱锥B1-ABC的高.
由B1B=2, ∠B1BA=, ∴B1D=2sin=
.
.
8分
(III) ∵△ABC为正三角形, CD⊥AB, CD⊥B1D, ∴CD⊥平面ABB1. 9分
在平面ABB1中作DE⊥AB1于E.连结CE,则CE⊥AB1.
∴∠CED为二面角C-AB1-B的平面角. 10分
在Rt△CED中,CD=2sin=.
连结BA1交AB1于O,则BO=,∴DE=
BO=
.∴
∴所求二面角C-AB1-B的大小为arctg2(文科: 所求二面角C-AB1-B的平面角的正切值为2)
12分
(20) 本小题满分12分
解(I): 第一个月需求量为
.
当
时,第个月的需求量为
5分
当
时,
也适合上式, ∴
7分
(II) 由题设可得: 
,
解之得
即第六个月需求量超过1.4万件,为1.44 万件. 12分
答: 第六个月需求量超过1.4万件,为1.44 万件.
(21) 本小题满分12分
(I) ∵
恒成立, ∴
.
∵
恒成立, ∴
.
从而知
. ∴
. 即
.
4分
(II) 由
∴
又∵. ∴ 
.
8分
(III)
∵ 
,
当
时, 
.
由 
解得 
12分
(22) 本小题满分14分
解: (I) 以为
轴, 且点A在轴的正半轴上建立直角坐标系.
1分
则的方程为
, 点A的坐标为 (2,0).
2分
由
,可求出点B的坐标为
(0,
).
3分
设C点坐标为(
,
得
∴
(舍去负值). ∴点C的坐标为 (-5,
). 5分
(II) 设点P是曲线段BC上任意一点, 则
- (-x) = 3
∴y2 = -2x + 5 (-5 < x < 0, y > 0) 9分
(III)
设点D (-a, 0) (a
> 0) ，点P，依题意：
PD =
=
=
11分
若-5 < 1 – a <
0, 即1 <
a < 6, 则当x = 1 – a时, PDmin
=
; 12分
若
， 即0 < a < 1, 则当x = 0时, PDmin
=
;
13分
若
， 即a > 6, 则当x = -5时,PDmin
=
. 14分
说明:其它正确解法按相应步骤给分.