2003年3月全国统一标准测试
数 学
（统编教材版）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.
参考公式：
sinα+sinβ＝2sin
cos
sinα－sinβ＝2cossin
cosα+cosβ＝2coscos
cosα－cosβ＝－2sinsin
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试卷上.
3.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 与双曲线
－
＝１有相同离心率的曲线方程可以是
A. +＝１
B.
－＝１
C. －＝１
D.
+＝１
2.使不等式x+1＜2x成立的充分不必要条件是
A.－
＜x＜1 B.x＞－
C.x＞1 D.x＞3
3.函数y=(cosx－
sinx)(sinx－cosx)的最小正周期为
A.4π B.2π C.π D.
4.非零复数z１,z２满足z１＋z２＝３，z１－z２＝４，那么z１+z２最大值为
A.
B.5 C.7 D.25
5.已知f(x)=
,a、b为两个不相等的正实数，则下列不等式正确的是
A.f(
)＞f(
)＞f(
) B.f()＞f()＞f()
C.f()＞f()＞f() D.f()＞f()＞f()
6.下列四个函数：y=tg2x,y=cos2x,y=sin4x,y=ctg(x+
)，其中以点(，0)为中心对称点的三角函数有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.如图，在正方体ABCD—A１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，EF是异面直线
AC与A１Ｄ的公垂线，则由正方体的八个顶点所连接的直线中，与EF平行的直线
A.有且仅有一条 B.有二条
C.有四条 D.不存在
8.在轴截面是直角三角形的圆锥内，有一个侧面积最大的内接圆柱，则内接圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值是
A.1∶2 B.1∶2
C.1∶ D.1∶4
9.从集合｛1,2,3,…，10｝中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列个数为
A.3 B.4 C.6 D.8
10.若函数f(x)=ax－1的反函数图象经过点(4，2)，则函数g(x)=loga
的图象是
11.三角形中三边a、b、c所对应的三个内角分别是A、B、C，若lgsinA、lgsinB、lgsinC成等差数列，则直线xsin２A+ysinA=a与直线xsin２B+ysinC＝c的位置关系是
A.平行 B.相交但不垂直
C.垂直 D.重合
12.甲、乙两工厂2002年元月份产值相同，甲厂的产值逐月增加，且每月增加的产值相等，乙厂的产值也逐月增加，且每月增长的百分率相等，已知2003年元月份两厂的产值相等，则2002年7月份产值高的工厂是
A.甲厂 B.乙厂 C.产值一样 D.无法确定
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
| 题号 | 二 | 三 | 总分 | |||||
| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | |||
| 分数 | ||||||||
| 得分 |
| ||
13.若(x２－
)n的展开式中含x的项为第6项，设(1－x+2x２)n＝a０+a１x+a２x２+…+a2nx2n，则
a１+a２＋a３+…+a2n＝______.
|
15.已知数列｛an｝同时满足下面两个条件：(1)不是常数列；(2) an＝a1，则此数列的一个通项公式可以是______.
16.抛物线y２=2x上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线段AB中点的横坐标是______.
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
| 得分 |
| ||
已知复数z１＝cosα+isinα，z２＝cosβ+isinβ，其中α、β为某一三角形的两个内角.
（1）求复数z１－
的模和辐角主值；
（2）若2z１＝(－1+i) ，求α+β的值.
| 得分 |
| ||
如图，正方体ABCD－A１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱长为1，M、N分别是棱AB、BC上的点，P是棱DD１的中点,
（1）M、N在什么位置时，才会有PB⊥平面MNB１，证明你的结论；
（2）在（1）成立的条件下，(ⅰ)求二面角M－B１Ｎ－B的正切值,( ⅱ)求
；
(3)求三棱锥C－MNB1的体积.
| 得分 |
| ||
已知椭圆
+
＝１(1≤m≤4)，过其左焦点F１且倾斜角
为
的直线与椭圆及其准线分别交于A、B、C、D(如图)，记f(m)=AB－CD
(1)求f(m)的解析式；
(2)求f(m)的最大值和最小值.
| 得分 |
| ||
某房屋开发公司用128万元购得一块土地，欲建成不低于五层的楼房一幢，该楼每层的建筑面积为1000平方米，楼房的总建筑面积(即各层面积之和)的每平方米的平均建筑费用与楼层有关，若该楼建成x层时，每平方米的平均建筑费用用f(x)表示，且f(n)=f(m)(1+
)(其中n＞m,n∈N)，又知建成五层楼房时，每平方米的平均建筑费用为400元，为了使该楼每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，公司应把该楼建成几层?
| 得分 |
| ||
设函数f(x)=
，数列｛an｝满足：a１＝3f(1),an+1＝
(1)求证：对一切自然数n，都有＜an＜+1成立；
(2)问数列｛an｝中是否存在最大项或最小项?并说明理由.
| 得分 |
| ||
已知函数f(x)=
－x
(1)当a=－1时，求f(x)的最值;
(2)求不等式f(x)＞0的解.