单元练习8 数列 极限 数学归纳法
2002.11 班级：____________；姓名：______________; 成绩：___________.
一. 选择题：(每小题4分，共4×14 = 56分)将答案填入下表中
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| A | B | B | D | C | D | C | C | C | B | D | D | A | C |
1. 设2 a = 3 ,2 b = 6 ,2 c = 12 ,则数列a ,b ,c
(A)是等差数列不是等比数列； (B)是等比数列不是等差数列；
(C)既是等差数列又是等比数列； (D)既不是等差数列也不是等比数列；
2. 已知数列{an}的前n项和为Sn = 3n + k (k为常数) ,那么下述结论正确的是
(A)k为任意实数时{an}为等比数列； (B)k=－1时{an}是等比数列；
(C)k=0时{an}是等比数列； (D){an}不可能成为等比数列；
3. 已知a,b,c成等比数列，a,x,b和b,y,c都成等差数列，且xy
¹ 0 ,则
的值为
(A) 1 ; (B) 2 ; (C) 3 ; (D) 4 ;
4. 在等差数列{an}中，an =
(其中p、q是非零常数)，则p ,q应满足的关系式是
(A) p－q = 0 ; (B) p + q =
0 ; (C) p－2q
= 0 ; (D) p + 2q = 0 ;
5. 若两个等差数列{an},{bn}的前n项和An和Bn满足
(nÎN) ,则
=
(A) 
; (B) 
; (C) 
; (D) 
;
6. 等差数列{an}中，a1 + a4 + a7 = 15 ,a3 + a6 + a9 = 3 ,则该数列前9项的和等于
(A) 18 ; (B) 45 ; (C) 36 ; (D) 27 ;
7. 等差数列{an}中，a10 < 0 ,a11 > 0 ,且 a10 < a11 ,Sn为其前n项之和，则
(A)S1,S2,…,S10都小于零 ,S11 ,S12 ,…都大于零；(B)
S1,S2,…,S5都小于零 ,S6 ,S7 ,…都大于零；
(C) S1,S2,…,S19都小于零 ,S20 ,S21
,…都大于零；(D) S1,S2,…,S20都小于零 ,S21 ,S22
,…都大于零；
8. 已知数列a1 ,a2 ,…,a10的各项均为正数，条件甲：该数列不是等比数列；条件乙：a1 +a10 < a5 +
a6 .则乙是甲的
(A)充要条件；(B)必要不充分条件；(C)充分不必要条件；(D)既不充分也不必要条件；
9. 在0和16间插入两个数, 使前三个数成等差数列, 后三个数成等比数列, 则这两个数的和等于
(A) 8 ; (B) 10 ; (C) 12 ; (D) 16 ;
10. 数列{an}中, a1 ,a2,a3成等差数列, a2 ,a3 ,a4成等比数列, a3 ,a4 ,a5的倒数成等差数列, 则a1 ,a3 ,a5
(A)成等差数列；(B)成等比数列；(C)倒数成等差数列；(D)对数成等比数列；
11. 已知首项a1为正数，公比 q < 1的无穷等比数列从第二项起各项之和不大于第一项的一半，
则公比q的范围是
(A) q <
; (B) q £ ; (C) q £且q ¹ 0 ; (D) －1< q £且q ¹ 0 ;
12. 等差数列{an}的首项a1 =－5 ,它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平
均值为4，则抽去的是
(A) a8 ; (B) a6 ; (C) a10 ; (D) a11 ;
13. 已知1 + 2·3 + 3·32 + 4·33 + … + n·3n-1 = 3n (na－b) + c对一切nÎN都成立，那么a ,b ,c
的值为
(A) a =
,b = c =
; (B)a = b = c = ; (C)a = 0,b = c = ; (D)不存在 ;
14. 下列极限值：À
;Á a>b>0 , 
=
;
 (
+
+…+
)= 0 ; Ã 
= 
.其中正确的有
(A) 0个 ; (B) 1个 ; (C) 2个 ; (D) 3个 ;
二. 填空题：(每小题5分，共5×7 = 35分)
15. 在数列{an}中，已知a1 = 1 ,a2 = 5 ,an+2 = an+1－an (nÎN) ,则a2002等于____________ .
16. 若{an}是等比数列，a4a7 =－512 ,a3+a8
= 124,且公比为整数，则a10 = ________________ .
17. 数列{an} ,{bn}满足anbn
= 1, an = n2 + 3n + 2，则{bn}的前十项的和为__________________ .
18. 若[ 1+(r + 1)n ] = 1 ,则r的取值范围是___________________________ .
19. 已知数列{an}满足Sn = 4－an－22-n (nÎN), 则通项公式an =________________________ .
20. 若(3an + bn) = 8 , (6an－bn) = 1 ,则(4an－bn)
=_______________________ .
21. 无穷等比数列中，所有奇数项之和等于36，所有偶数项之和为12，则此数列从第________
项开始每一项都小于0.1 .
三. 解答题：(4小题共59分)
22. 设{an}是等差数列，a1 = 1 ,Sn是它的前n项和，{bn}是等比数列，其公比的绝对值小于1，Tn
是它的前n项和，如果a3 = b2 ,S5 =2T2－6 ,Tn = 9 ,求{an}
,{bn}的通项公式 .
23. 已知递增等比数列{an}的前三项之积为512，且这三项分别减去1,3,9后又成等差数列.
求证：
+
+…+
< 1 .
24. 已知等差数列{an}的第三项a3 = 8，其前20项的和为610. 今从该等差数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，并按原来的顺序组成一个新的数列{bn}，记数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn. (1). 求数列{an}和{bn}的通项公式；(2). 对一切自然数n，试比较2Sn与Tn的大小，并证明你的结论.
25. 在XOY平面上有一点列P1 (a1, b1), P2 (a2,
b2), …, Pn (an, bn),
…，对每个自然数n，点Pn位于函数y = 2000(
)x (0 < a < 10)的图象上，且点Pn、点(n, 0)与点(n + 1, 0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形. (1) 求点Pn的纵坐标bn的表达式；(2) 若对每个自然数n，以bn, bn+1, bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；(3) 设Bn
= b1b2…bn (nÎN). 若a取(2)中规定的范围内的最小整数，求数列{Bn}的最大项的项数.
答案：15.-1;16. 512 ; 17. 5/12 ; 18. -2<r<0 ; 19. n/2n-1
; 20. -1 ; 21.7 ; 22. 提示:an=(n+1)/2; bn=
6(1 /3)n-1 ; 23. 提示：由条件推出a2 = 8
,q= 2 ,\an = 2n+1 ,令Sn=1/a1+2/a2+…+n/an ,由1/2sn=Sn-1/2Sn
= 1/22 + 1/23 +…+1/2n+1－n/2n+2 , \Sn =
1-1/2n-n/2n+2 < 1 ; 24. 提示：(1).an = 3n - 1, bn = 3×2n－1; (2). Sn = (3n2+n)/2,
∴2Sn = 3n2+n, Tn = 3×2n+1－n－6,
分别计算n = 1, 2, 3时2Sn与Tn, 猜想Tn > 2Sn，用数学归纳法证明; 25. 提示：(1) an = n+, \bn=2000(a/10)n+1/2
; (2) ∵函数y = 2000()x (0 < a < 10)递减∴对每个自然数n有bn>bn+1 > bn+2 以bn, bn+1, bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2 + bn+1 > bn .即(a/10)2 + (a/10)－1 > 0 解得5(Ö5-
1)<a<10; (3) ∵5(Ö5- 1)<a<10 ∴a =7 bn = 2000(7/10)n+1/2 数列{bn}是一个递减的正数数列. 对每个自然数n > 2, Bn = bnBn-1. 于是当bn > 1时, Bn >
Bn-1，当bn < 1时, Bn < Bn-1，因此，数列{Bn}的最大项的项数n满足bn > 1且bn+1 < 1, 由bn =
2000(7/10)n+1/2 > 1得n <
20.8 ∴n = 20
*. 在等差数列{an}中，若a3+a9+a15+a17 = 4 ,则a11 的值等于______________ . (1)
*. 若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小的角是100°，最大的角是140°，这个多边形的
边数为________________ . (6)
*. 首项是
,第10项起开始比1大的等差数列的公差的范围是__________. (8/75<d£3/25)
*. 数列1, (1+2), (1+2+22), …,(1+2+22+…+2n-1)的前n项和的表达式为___________.(2n+1-n-2)
*. 设f (n) = 1 +++…+
,是否存在g (n)使等式f
(1) + f (2) +…+ f (n－1) = g (n)·f (n)－g (n)对n ³2的一切自然数都成立?并证明你的结论 .
提示：若n=2时满足条件的g (n)存在，则1=g(2)(1+1/2)－g(2) , g(2) = 2 ;若n = 3时g(n)存在，则g(3) = 3 ,猜想g (n)存在且g (n) = n (n³2) .用数学归纳法证明g(n)=n时等式成立 .