哈师大附中
东北师大附中
辽宁省实验中学
2002年高三第二次联合考试
数学试卷
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
参考公式：
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
（1）下面四个函数中，不存在反函数的函数的是
A．
B．
C．
D．
（2）设α、β为钝角且
，
，则α+β的值为
A．
B．
C．
D．或
（3）对于直线a、b和平面α、β，a//b的一个充分条件是
A．a//α，b//α B．a//α，b//β，α//β
C．a⊥α，b⊥β，α//β D．α⊥β，a⊥α，b//β
（4）函数f(x)=ctgwx (w>0)图像的相邻两支截
所得线段长为
，则
的值是
A．0 B．-1 C．1 D．
（5）今有一组实验数据如下
| t | 1.993 3.002 4.001 5.032 6.121 |
| S | 1.501 4.413 7.498 12.04 17.93 |
现准备下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律，其中接近的一个是：
A．
B．
C．
D．S=-2t-2
（6）已知A（0，0），B（a，b），
是AB中点，
是
中点，
是
中点，…，
是
中点，则
点的极限位置
A．
B．
C．
D．
（7）函数
的值域是：
A．
B．
C．
D．
（8）已知a≠b，
，
，则m、n之间的关系是
A．m>m B．m<n C．m=n D．m≤n
（9）如图在正三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、BC的中点 EF⊥DE，且BC=1，则正三棱锥A-BCD的体积是
A．
B．
C．
D．
（10）在平面直角坐标中，x轴正半轴上有5个点，y轴正半轴有3个点，将x轴上这5个点和y轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有
A．30个 B．35个 C．20个 D．15个
（11）若直线y=kx=1与曲线
有两个不同的交点，是k的取值范围是
A．
B．
C．
D．
或
（12）某厂有一批长为2.5m的条形钢材，要截成60cm长的A型和43cm长的B型的两种规格的零件毛坯，则下列哪种方案是最佳（所剩材料最少）
A．A型4个 B．A型2个，B型3个
C．A型1个，B型4个 D．B型5个
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。
（13）椭圆
的离心率为
，F为左焦点，A为左顶点，B为上顶点，C为下顶点，直线CF与AB交于D，则tg∠BDC的值___________。
（14）已知
的展开式中，
的系数是56，则实数a的值为___________。
（15）（理）已知直线l的参数方程为
（t为参数），若以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为（-2，π），则点P到直线l的距离为___________。
（文）函数y=sinx-sinx的最小值为___________。
（16）在△ABC中A>B，下列不等式中正确的是
①sinA>sinB ②cosA<cosB ③sin2A>sin2B ④cos2A<cos2B
其中正确的序号为___________。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程式演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已条集合
，
，若
，求实数a的取值范围。
18．（本小题满分12分）
已知复数z满足
，且
是纯虚数；
（1）求z；
（2）求argz。
19．（本小题满分12分）
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，
（1）求证：CD⊥PD；
（2）求证：EF//平面PAD；
（3）当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD。
20．（本小题满分13分）
已知抛物线C：
，点P（2，4）、A、B在抛物线上，且直线PA、PB的倾斜角互补；
（1）证明：直线AB的斜率为定值；
（2）当直线AB在y轴上的截距为正数时，求△PAB的面积S的最大值及此时直线AB的方程。
21．（本小题满分12分）
（文）国贸城有一个个体户，2001年一月初向银行贷款10万元作开店资金，每月底获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底所缴的房租和所得税为该月所得金额（含利润）的10%，每月生活活费和其它开支为3000元，余款作为资金全部投入再营业，如此继续，问到2001年年底，这一个体户有现款多少元。（
）
（理）在东西方向直线延伸的湖岸上有一港口A，一艘机艇以40km/h的速度从A港发，30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后，先按直线前进，以后又改成正北，但不知最初的方向和何时改变的方向，如果去营救，用图示表示营救区域（提示：满足不等式y≥ax+b的点，（x，y）不在y=ax+b的下方）
22．（本小题满分13分）
（理）若
是正项递增的等差数列，n∈N，k≥2，k∈N，求证
（1）
（2）
（文）已知等比数列
的各项为不等于1的正数，数列
满足
设
，
。
（1）求数列的前多少项和最大，最大值为多少？
（2）试判断是否存在自然数M，使当n>M时，
恒成立？若存在，求出相应的M，若不存在，请说明理由。
（3）令
（n>13，n∈N），试判断数列的增减性？
参考答案：
一、选择题
| 选项 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | B | C | C | A | C | C | C | D | B | A | B | B |
二、填空题
13．
14．-1或6 15．理
文-2
16．①②④
三、解答题
17．解：由
得
，解得：x>3或x<-2
A={xx>3或x<-2}…………………………4分
由
得0<x+a<4
∴B={x-a<x<4-a}…………………………8分
∵A∩B=φ ∴
……………10分
∵1≤a≤2
即a的取值范围是： {a1≤a≤2}…………………………12分
18．解：（1） ∴
∵
∴
…………………………3分
设z=x+yi (x，y∈R) 则
∴
，
…………………………………5分
又∵
且是纯虚数
∴
且y≠0……………………………………7分
∴
∴
……………………10分
（2）当
时，
……………………11分
当
时，
……………………………12分
19．（1）证明：∵ABCD是矩形 ∴CD⊥AD
又∵PA⊥平面ABCD，AD是PD在平面ABCD上的射影
由三垂线定理：CD⊥PD………………………………………3分
（2）证明：取CD中点N，连结EN、FN。
∵E、F分加中AB、PC的中点 ∴EN//PD，EN//AD
∵
平面PAD，
平面PAD
∴FN//平面PAD，EN//平面PAD…………………………5分
∵FN∩EN=N ∴平面EFN//平面PAD
∵
平面EFN ∴EF//平面PAD…………………7分
（3）解：当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥平面PCD…………8分
∵AB//CD
∴CD⊥AD，PD⊥CD，即∠PDA就是侧面PCD与底面ABCD所成二面角的平面角。
连结PE，EC
又∠PDA=45° ∴PA=AD=BC 又AE=EB
∴Rt△PAE≌Rt△CBE
∴PE=EC……………………10分
∵F为PC的中点
∴EF⊥PC 又FN//PD EN//AD ∴CD⊥FN，∴CD⊥EN
∴CD⊥平面EFN ∴CD⊥EF
∵CD∩PC=C ∴EF⊥平面PCD…………………………12分
20．解：（1）易知点P在抛物线C上，设PA的斜率为k，
则直线PA的方程是y-4=k(x-2)………………………………1分
代入中，整理得：
此时方程应有根
及2，由韦达定理得：
∴
∴
……………………4分
∴
由于PA与PB的倾斜角互补，故PB方程的斜度为-k
同理可得：
∴
………………6分
∴直线AB方程为：y=2x+b，b>0。代入方程消去y得：
……………………9分
…………………12分
此时方程为：
……………………………………………13分
21．（文）设第n月月底所得现款
万元，
依题意
……………4分
化为
，
则
为等比数列，其中
……8分
即
………………10分
∴
代入 得
……………………12分
答：到这一年年底，个体户有现款193750元
（理）建立如图所示的直角坐标系，设机艇先沿OP方向前进m到P处，然后向北前进n到达Q，设∠XOP=θ，Q（x，y）……………………2分
可知
m+n=20 ……………………4分
∴
∵机艇中途左拐 ∴
……………………7分
又∵
即
……………………10分
根据题中的提示及对称性，结合上述不等式组，可得营救区域为上图所示阴影区域，但不包括圆周上的点。……………………12分
22．解：（1）∵
，
∴
又∵
，
，
∴……………………4分
（2）利用（1）的结论可得
………………………6分
令
，从而有
…………9分
又
从而
……………………13分
（文）（1）
设的公比为q(q≠1)
∵
∴为等差数列 设公差为d…………………………2分
∵， ∴d=-2 ∴
设前k项为最大，则
……………………4分
∴前11项和前12项和为最大，其和为132……………………5分
（2）
，n∈N
若 则
当a>1时，n<12，显然不成立…………………………………7分
当0<a<1时，n<12，∴存在M=12，13，14，…当n>M时，…………9分
（3）
………………10分
∵
………………12分
∴
∴n>13时数列为递减数列……………………13分