北京市东城区2002年高三总复习练习一

数学（文史类）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第II卷3至8页。共150分。考试时间120分钟。

第I卷　（选择题共60分）

注意事项：

1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：

三角函数的和差化积公式

，

，

，

，

正棱台、圆台的侧面积公式

其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长

台体的体积公式

其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高

第I卷　（选择题　共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．数轴上三点A、B、C的坐标分别为2、3、5，则点C分有向线段所成的比为

A．　　　  B．　　　 C．　　　 D．

2．函数的反函数为

A．（x>1）　　　　B．（x>-1）

C．（x>0）　　　　 D．（x>0）

3．若数列的前n项和公式为，则等于

A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　  D．

4．设，则S等于

A．　　　　B．　　　　C．　　　 D．

5．函数y=cos(x-1)图象的一个对称中心的坐标是（　　）

A．　　　　B．　　　 C．（π+1，0）　　　　D．（π-1，0）

6．两圆的位置关系是

A．相交　　　　B．内切　　　 C．外切　　　　D．内含

7．已知圆台的轴截面是上、下底边长分别为2和4，底角为60°的等腰梯形，则圆台侧面展开图的面积为

A．24π　　　　  B．8π　　　　 C．6π　　　　D．3π

8．已知图①中的图象对应的函数为y=f(x)，则图②中的图象对应的函数

在下列给出的四式中，只可能是

A．y=f(x)　　　　  B．y=f(x)　　　　C．y=f(-x)　　　D．y=-f(x)

9．已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为2，则它的一条侧棱与截面所成角的正弦值为

A．　　　　 B．

C．　　　 D．

10．已知，，则α+β是

A．第一象限角　　　 B．第二象限角　　　 C．第三象限角　　　D．第四象限角

11．如图，已知多面体ABC-DEFG中，AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC//平面DEFG，平面BEF//平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则该多面体的体积为

A．2　　　 B．4

C．6　　　 D．8

12．椭圆（a>b>0）的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为

A．　　　　 B．

C．　　　　 D．

第II卷（非选择题共90分）

注意事项：

1．第II卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

13．设复数，则在复平面内对应的点位于第__________象限。

14．将抛物线绕其焦点按逆时针方向旋转90°后，所得抛物线的方程为____________________。

15．空间内五个点中的任意三点都不共线且仅有四个点共面，则这五个点最多可以确定__________个平面。

16．已知集合A、B、C，A={直线}，B={平面}，C=A∪B，若a∈A，b∈B，c∈C，在下列命题中

①　 ②　　 ③　　④

正确命题的序号是__________________。（注：把你认为正确的序号都填上）。

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知△ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，

求证：。

18．（本小题满分12分）

已知函数，将y=f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=g(x)的图象。

（I）求y=g(x)的解析式及定义域；

（II）求函数F(x)=f(x-1)-g(x)的最大值。

19．（本小题满分12分）

在直三棱柱中，∠ABC=90°，BC=2，。D、F、G分别为的中点，EF与相交于H。

（I）求证：；

（II）求证：平面EGF//平面ABD；

（III）求平面EGF与平面ABD的距离。

20．（本小题满分12分）

已知数列是首项为a（a≠0）的等差数列，其前n项的和为，数列的通项，其前n项的和为。

（I）用等差数列定义证明数列是等差数列；

（II）若，求的值。

21．（本小题满分12分）

运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择。它们的速度分别为50千米/小时，100千米/小时，500千米/小时，每千米的运费分别为a元、b元、c元，且b<a<c。又这批海鲜在运输过程中的损耗为500元/小时。若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用（运费与损耗之和）互不相等。试确定使用哪种运输工具总费用最省。（题中字母均为正的已知量）

22．（本小题满分14分）

已知（0，）是中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点，离心率为。

（I）求椭圆方程；

（II）直线与椭圆相交于A、B两点，椭圆的左右焦点分别为，求以和AB为对角线的四边形面积的最大值。

参考答案：

一、

1．B　 2．C　 3．B　 4．A　5．A　6．B　7．C　8．C　9．B　10．B　11．B　12．D

二、

13．四

14．

15．7

16．②

三、

17．证明：由已知，2b=a+c　　  ………………………………………………………2分

由正弦定理，得

4RsinB=2RsinA+2RsinC　　　………………………………………………………4分

即 2sinB=sinA+sinC

　 ……………………………………10分

　 …………………………………………………………12分

18．解：（I）由已知，将函数进行坐标变换

得，

。　（x>-2）　 ………………………………………………4分

（II）　　（x>0）

　　…………………………………………6分

∵x>0，

　　……………………………………10分

当且仅当，即x=2时取等号。

。　 …………………………………………………………………12分

19．（I）证：由直三棱柱的性质，得平面ABC⊥平面，又由已知，AB⊥BC，

∴AB⊥平面。

又，　 ……………………………………………………2分

由已知，

在Rt△BCD与中可求得

则，即。

又AB∩BD=B，。　 ……………………………………………………4分

（II）证：由，在中，求得。

∴EF//BD　 …………………………………………………………………………………5分

而，，

∴EF∥平面ABD。　 ……………………………………………………………………6分

∵G、F分别为的中点，

∴………………………………………………7分

而，，

∴GF//平面ABD………………………………………………8分

∵，，

∴平面EGF//平面ABD　 ……………………………………………………9分

（III）解：∵，平面EGF//平面ABD。

。

则HD为平行平面EGF与平面ABD之间的距离　 ……………………………………10分

　 ………………………………………………12分

20．（I）证明：令的公差为d，则

，

　 ……………………………………………………………………2分

　（n=2，3，4，……）

（n=2，3，4，……）

∴是首项为a，公差为的等差数列　 ……………………………………………6分

（II）解：。

由已知，。

解得 ………………………………………………………………8分

。

　 …………………………………………………12分

21．解：设运输路程为S（千米），使用汽车、火车、飞机三种运输工具分别运输时各自的总费用分别为（元），（元），（元）。

则由题意得

　 ………………………………………………………3分

∵a>b，，即　………………………………………………………6分

那么中的最小值只可能是。

。

令，解得c>b+4。

∴当c>b+4时，

当b<a<c<b+4时，

答：当c>b+4时，用火车运输总费用最省　 …………………………………………9分

当b<a<c<b+4时，用飞机运输总费用最省　 ………………………………………12分

22．（I）设椭圆方程为。

由已知，，。

。

。解得

为所求。　 ……………………………………………………5分

（II）由方程组消去y，得

　……………………………………………………7分

，

解得…………………………………………………………9分

令

　…………………………12分

当m=0时，的最大值为 ………………………………………………14分