西安中学高2002级五月份模拟试题

参考公式：

三角函数的积化和差公式

　　

　

正棱台、圆台的侧面积公式

；其中c＇，c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长。

台体的体积公式

，其中S＇，S分别表示上、下底面面积，h表示高。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．若使集合中有且只有一个元素的所有a的组成的集合N，则（　　）。

A．N={-1，1}　　　　　　　　　　　  B．N={0，1}

C．N={-1，0，1}　　　　　　　　　　 D．N={0，-1}

2．若，则下列不等式恒成立的是（　　）。

A．sinα<sin2α　　　　　　　　　　  B．cosα>cos2α

C．tgα<tg2α　　　　　　　　　　　  D．ctgα>ctg2α

3．正三棱柱中，，D为AB中点，，则点到平面的距离和与所成的角分别为（　　）。

A．　　　　　　　　　　　  B．

C．　　　　　　　　　　  D．

4．（理）在极坐标系下，两圆ρ=sinθ与ρ=1的位置关系是（　　）。

A．相交　　　　　　　　　　　　 B．内含

C．外切　　　　　　　　　　　　 D．内切

（文）已知抛物线与抛物线关于直线y=-x对称，则的准线方程是（　　）。

A．　　　　　　　　　　  B．

C．　　　　　　　  　　　 D．

4．若成等差数列，成等比数列，若关于直线l对称，则直线l的方程为（　　）。

A．x+y-7=0　　　　　　　　　  B．y-x+1=0

C．x-y+1=0　　　　　　　　　  D．2x-y-5=0

6．下列判断正确的是（　　）。

A．是奇函数　　　　　  B．是偶函数

C．是奇函数　　 D．f(x)=1既是奇函数又是偶函数

7．（理）设函数的最大值为α，最小值为β，则sin(β-α)的值等于（　　）。

A．　　　　　　　　　 B．

C．0　　　　　 　　　　　 D．

（文）使成立的x的一个变化区间是（　　）。

A．　　　　　  B．

C．　　　 D．

8．无穷等比数列的前n项和为，若，且，则（　　）。

A．　　　 B．2　　　　C．4　　　　 D．8

9．函数在[m，n]上是增函数，且f(m)= -A，f(n)=A，则函数在[m，n]上（　　）。

A．是增函数　　　　　　　　　　　 B．是减函数

C．最大值为A　　　　　　　　　　 D．最小值为－Ａ

10．已知定义在R上的函数y=f(x)满足下列条件：①对x∈R，都有f(x+4)=f(x)；②对任意的，都有；③y=f(x+2)的图象关于y轴对称。则下列结论中，正确的是（　　）。

A．f(4.5)<f(6.5)<f(7)　　　　　　  B．f(4.5)<f(7)<f(6.5)

C．f(7)<f(4.5)<f(6.5)　　　　　　  D．f(7)<f(6.5)<f(4.5)

11．已知一正方体内接于一球面，用一个平面去截这个球和正方体，得到的截面图形是一个圆及其内接正三角形，若此正三角形的边长为a，则这个球的外切正方体的表面积为（　　）。

A．　　　　  B．　　　　　 C．　　　　D．

12．函数的图象如右图，则（　　）。

A．a>b>0，c>0　　　　　　  B．a=b<0，c>0

C．a=b>0，c<0　　　　　　  D．a<0，b<0，c<0

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

13．设函数的反函数为，则函数的定义域为__________________________。

14．已知，，则的值为______________。

15．某化工厂生产实验中需依次投放2种化工原料。现已知有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，共有不同的实验方案_______________种。

16．关于复数，下列命题：

①复数的辐角主值是α。

②复数z在复平面上对应点的轨迹是单位圆。

③一定是实数。

④将复数z在复平面内对应的向量按顺时针方向旋转90°得向量，则点Q对应的复数为。

其中正确命题的序号是__________________。

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本题12分）　已知z是虚数，，求argz的范围。

18．（本题12分）　如图，正三棱柱的所有棱长均为2，D是BC上一点，。

（1）求证：截面；

（2）求二面角的大小的正弦植；

（3）求与截面的距离。

19．（本题12分）在数列中，，且。

（1） 求；写出数列的通项公式，并加以证明。

（2） （理）设，令，求。

　　　（文）设，令，。

20．（本题12分）某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创纯利润1万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员x人后年纯收益为y万元。

（1）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；

（2）当时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益（注：在保证能获得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁）。

21．（本题13分）如图，已知双曲线C的对称轴是坐标轴，离心率为，点是双曲线C的渐近线上的两点，的面积为9，点P是双曲线C上的一点，且点P分有向线段所成的比是2。

（1）求双曲线C的渐近线方程：

（2）求双曲线C的方程。

22．（本题13分）

（理）定义在区间（-1，1）上的函数f(x)满足：

①对任意，都有；②当时，f(x)>0。

（1）求证f(x)为奇函数；  （2）试解不等式。

（文）设函数

（1）当a=2时，求函数f(x)的最小值；

（2）当0<a<1时，判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的最小值。

参考答案：

一、选择题（每小题5分，共60分）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
B卷答案	C	B	B	理D 文C	A	C	理B 文C	D	D	B	A	C

二、填空题（每小题4分，共16分）

13．

14．　-3　

15．　15　

16．　③④　

三、解答题（共74分）

17．解：设z=x+yi（x, y∈R,且y≠0），……………………………………………1分

则由，…………4分

得 ∵y≠0，由2y(x-1)=0得x=1。…………………………6分

把x=1代入到得，即。…………8分

从而z=x+yi=1+yi　，…………………………………10分

∴。……………………………………………………12分

18．解（1）∵，，∴，…………2分

又。∴。

又，∴截面。………………………4分

（2）做于E，则，做于F，连结CF，则。

∴∠CFE为二面角的平面角。……………………………………6分

在中，易求得，在中，可求得。

故在中，。

即二面角大小的正弦值为。……………………………………8分

（3）连接与交于H，在中易证，∴。所求距离即为点B到平面的距离，…………………………………………………10分

由可求得点B到平面的距离为。……………………12分

19．解：（1），…………………………………………………………2分

推测。…………………………………………………………………………4分

证明：①当n=1时，由得，结论正确。

②假设当n=k（k∈N）时，结论正确，即。

那么当n=k+1时，

这说明当n=k+1时，结论也正确。

由①、②得，对于都有。……………………………………6分

（2），…………………………8分

∴

……………………………………………………………………10分

∴。………………………………………………………………………12分

（文）

　　………………………………………………………………8分

∴

……………………………………………………………………………10分

∴　　　　　　　  …………………………………………………………12分

20．解：（1）由题意可得y=(a-x)(1+0.01x)-0.4x，

……………………………………………………………4分

∵，∴。即x的取值范围是中的自然数。………………6分

（2）∵,且，………8分

∴。

∴当a为偶数时，时，y取最大值。……………………………………10分

当a为奇数时，时，y取最大值。（∵尽可能少裁人，∴舍去）

答：当员工为偶数人时，裁员人，才能获得最大的经济效益；

当员工为奇数人时，裁员人，才能获得最大的经济效益。………………12分

21．解：（1）设所求双曲线方程为，

∵，∴。………………………………………………2分

∴渐近线斜率为。∴渐近线方程为。……………………4分

（2）设，，则。

………………………………6分

又∵，∴ 。………………………………………………7分

∴。故，……8分

∵，∴点P的坐标为。………………………………9分

设双曲线方程为，将P点坐标代入化简得，把代入得，。

∴所求双曲线方程为。……………………………………………………12分

22．解：（理）（1）令x=y=0，则，∴f(0)=0。……2分

又令，则，，…………4分

∴f(-x)= -f(x)。故f(x)在（-1，1）上为奇函数。……………………………………5分

（2）令，则，

于是。

即，∴f(x)在（-1，1）上为减函数。………………………………8分

从而…………10分

。…………………………12分

∴原不等式的解集为。……………………………………13分

（文）（1）当a=2时，，………3分

当且仅当，即时取等号。∴f(x)的最小值为。……5分

（2）当0<a<1时，任取，

……8分

∵0<a<1，且，∴。

∴。……………………………………………………11分

从而得，∴f(x)在上为增函数。……………………12分

∴f(x)的最小值为f(0)=a。…………………………………………………………13分