湖南省十校联考理科数学试题
命题人：刘菊秋 南方中学
谭祖荣 衡阳一中
何华清 涟源一中
黄小红 株洲县五中
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)
1、已知
A．
B．（
） C．
D．（
）
2、
A．
B．
C．
D．
３、已知平面上三点A、B、C满足
，
，
，则
的值等于
A．25 B．24 C．－25 D．－24
４、设a，b，c是空间三条直线，
，
是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是
A．当c⊥时，若c⊥，则∥
B．当
时，若b⊥，则
C．当，且c是a在内的射影时，若b⊥c，则a⊥b
D．当，且
时，若c∥，则b∥c
5、函数y=f(x)与y=g(x)的图象如下图：
则函数y=f(x)g(x)的图象可能为
A B C D
6、 
A.等腰三角形 B. 直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
7、 若(x
–
)6的展开式中的第五项是
, 设Sn = x –1 + x –2 + … + x – n , 则
Sn等于
A．1 B． 
C． 
D．
8、如右图所示，在单位正方体
的面对角线
上存在一点
使得
最
短，则的最小值为
A．2 B．
C．
D． 
9、椭圆
与直线
交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为
，则 值
A． B． 
C． 
D． 
10．由正方体的八个顶点中的两个所确定的所有直线中，取出两条，这两条直线是异面直线的概率为
A． 
B． 
C． 
D． 
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11、在条件
下, 
的取值范围是________ 。
12、将函数y=f(x)sinx的图象向右平移
个单位后，再作关于x轴对称的曲线，得到函数
y=1－2sin2x, 则f(x)＝________.
13、
14、在数列
在直线
上，
，则
。
15、已知f ( x )是定义在实数集上的函数，且f ( x + 2)
=
, 若f ( 1 ) = 2 + 
,
则f ( 2005) = .
三、解答题（本大题共6个小题，共80分）
16．（本小题满分12分）已知向量
=（sinB，1－cosB)，且与向量
（2，0）所成角为
，其中A, B, C是⊿ABC的内角．
（1）求角Ｂ的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范围．
17、（本小题满分12分）下表为某体育训练队跳高成绩的分布，共有队员40人，成绩分为1~5五个档次，例如表中所示跳高成绩为4分，跳远成绩为2分的队员为5人。将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，该卡片队员的跳高成绩为x，跳远成绩为y，设x，y为随即变量（注：没有相同姓名的队员）
（1）求
的概率及
且
的概率；
（2）求
的值；若y的数学期望为
，求m，n的值.
| y x | 跳 远 | |||||
| 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | ||
| 跳 高 | 5 | 1 | 3 | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 1 | 0 | 2 | 5 | 1 | |
| 3 | 2 | 1 | 0 | 4 | 3 | |
| 2 | 1 | m | 6 | 0 | n | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 3 | |
18、（本题满分14分）已知梯形
中，
∥
，
，
，
、
分别是
、
上的点，
∥，
，
是的中点。沿将梯形翻折，使平面
平面
(如图)。
(1) 当
时，求证：
；
(2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为
，求的最大值；
(3) 
当取得最大值时，求二面角D-BF-C的大小。
19．（本小题满分14分）
|
，B、C两点分别在
轴和
轴上运动，并且满足
，
（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）设过点A的直线与点Q的轨迹交于E、F两点，
，求直线
E、F的斜率之和。
20．（14分）已知等差数列
的首项为a，公差为b；等比数列
的首项为b，公比为a，其中a，
，且
．
（1）求a的值；
（2）若对于任意
，总存在
，使
，求b的值；
（3）在（2）中，记
是所有中满足， 的项从小到大依次组成的数列，又记
为的前n项和，
是的前n项和，求证：≥
．
21、（本小题满分14分）
设函数
、
R）。
（1）若
，过两点（0，0）、（
，0）的中点作与轴垂直的直线，与函数
的图象交于点
，求证：函数在点P处的切线点为（
，0）。
（2）若
），且当
时
恒成立，求实数的取值范围。
湖南省十校联考理科数学参考答案
一、选择题
1－5ABCBA 6－10 DADAB
二、填空题
11、
； 12、2cosx ； 13、1 ； 14、2 ； 15、
。
三、解答题（本大题共6个小题，共80分）
16．解：（1）∵
=（sinB，1-cosB)
, 且与向量（2，0）所成角为
∴
……………………………………………………………………3’
∴tan
……………………6’
（2）由（1）得
………………………………………………8’
∵
∴
……………………………………………………………………10’
∴
当且仅当
…………………………………………12’
17、解：（1）当时的概率为
……………2分
当且时的概率为
…………4分
（2）
……………………6分
，
，
，
因为y的数学期望为，所以
………10分
于是
，
………………………12分
18、解:∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可建立空间坐标系E-xyz。则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），
D（0，2，2），E（0，0，0）
（1）
（－2，2，2）
（2，2，0）
（－2，2，2）
（2，2，0）＝0，∴……4分；
（2）∵AD∥面BFC，
VA-BFC＝
＝4(4-x)x
即时有最大值为
。……8分
（3）设平面DBF的法向量为
，∵AE=2, B（2，0，0），D（0，2，2），
F（0，3，0）,∴
（－2，2，2）,
则 
，即
，
取x＝3，则y＝2，z＝1，∴
……11分
面BCF的一个法向量为
则cos<
>=
……13分
二面角D-BF-C的平面角为π-arccos
……14分。
19、解（1）
……………2分
由已知
………………4分
……………5分
（2）设过点A的直线为
…9分
…………11分
， 所以
，由
,得
=0 …………14分
20、解：（1）∵ 
，a，
，
∴ 
∴ 
∴ 
∴ 
．
…………4分
∴ a＝2或a＝3（a＝3时不合题意，舍去）． ∴a＝2．…………5分
（2）
，
，由可得
． ∴ 
．
∴ b＝5 …………8分
（3）由（2）知
，
， ∴ 
．
∴ 
． ∴ 
，
．……10分
∵ 
，
． …………11分
当n≥3时，
．
∴ 
． 综上得 
…………14分
21、解（1）由已知
…………1分
…………2分
所求，所求切线斜率为
…………3分
切线方程为
所以，函数y=f (x)过点P的切线过点（b,0） …………4分
（2）因为
，所以
，
…………5分
当
时，函数
上单调递增，在（
，）单调递减，
在
上单调递增.
所以，根据题意有
即
解之得
，结合，所以
…………8分
当
时，函数
单调递增。
…………9分
所以，根据题意有
…………10分
即
， 整理得
（
）
令
，
，所以“”不等式无解。 …13分
综上可知：
。
…………14分