2006年杭州市第一次高考科目教学质量检测

数学试题卷（理科）

考生须知:　　　　　

1. 本卷满分150分, 考试时间120分钟.

2. 答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.

3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.

4. 考试结束, 只需上交答题卷.

参考公式　

如果事件互斥，那么;　

如果事件相互独立，那么 ;

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率_.

一. 选择题 : 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 .

1. () ² 等于 （ 　　 ）

　　 (A) – 1　　　 (B) 1　　　 (C) i　　　　(D) – 4

2.下列四个极限运算中，正确的是(　　　)

(A)　　　　　　　　　　　　　 (B).

(C) 　　　　　　　　　　(D)

3. 函数y＝sin(2x+)的图象可由函数y=sin2x的图象经过平移而得到，这一平移过程可以是 (　　　 )

(A)向左平移　　　　　　(B)向右平移　 (C)向左平移　　(D)向右平移

4.  的展开式中的常数项是 (　　　  )　

　　 (A) 20　　　(B) 80　　 (C) 160　　(D) 960

5. 在数列{a_n}中，已知a₁ = 1, 且当n ≥2时，a₁a₂ … a_n = n²，则a₃ + a₅等于（　　）

(A)　　　 (B) 　　　(C) 　　　(D)

6. 下面给出四个命题：

(1) 对于实数m和向量a、b恒有：m(a – b) = ma – mb;

(2) 对于实数m,n和向量a，恒有：(m – n)a = ma – na;

(3) 若ma = mb (m∈R，m ¹ 0), 则a = b;

(4) 若ma = na (m,n∈R,a ≠ 0), 则m = n.

其中正确命题的个数是 (　　 )

 (A)1　　　　 (B)2　　　　　　(C)3　　　　　　(D)4

7.  =　(　　　)

8. 已知f (x) = 1 – ( x – a )(x – b )，并且m，n是方程f (x) = 0的两根，则实数a, b, m, n的大小关系可能是（ 　　）

(A) m < a < b < n　　　　　　　 (B) a < m < n < b

(C) a < m < b < n　　　　　　　 (D) m < a < n < b

9．已知f ( x ) = , 则f ( – 9 ) 等于(　　 )

　 (A)–1.　　(B)0.　　(C)1.　 (D)3.

10. 从集合{1，2，3，……10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有 (　　 )

　(A)10个　　　　 (B)16个　　　　 (C)20个　　　　 (D).32个

二．填空题: 本大题有4小题, 每小题4分, 共16分. 把答案填在答题卷的相应位置.

11. 函数y=的单调递增区间是　　　　　　  .

12 若血色素化验的准确率是p, 则在10次化验中,最多一次不准的概率为 　　　　　 .

13. 已知a = (1，–2)，b = ( 4, 2), a与( a –b )的夹角为q, 则 cosq等于 　　　　　　  .

14. 已知命题p: x – 2 < a (a > 0 ), 命题q： x ² – 4 < 1 , 若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 　　　　　　　　　　  .　　

三. 解答题: 本大题有6小题, 每小题14分，共84分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.

15. (本小题满分14分)

　　已知a、b、c是△ABC中A、B、C的对边, 关于x的方程b (x ² + 1 ) + c (x ²–1 ) –2ax = 0 有两个相等的实根, 且sinCcosA – cosCsinA=0, 试判定△ABC的形状.

　　

 

16. (本小题满分14分)

解关于 x的不等式lg(2ax) – lg(a+ x ) < 1

 

17．(本小题满分14分)

已知向量a = ( sinx , 0 ), b = (cosx, 1), 其中 0 < x <, 求a -b 的取值范围.

 

18 . (本小题满分14分)

某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的产值函数R (x)=3700x + 45x² – 10x³(单位：万元), 成本函数为C (x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:（提示：利润 = 产值 – 成本）

(1) 利润函数P(x) 及边际利润函数MP(x);

　　(2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?

　　(3) 边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

 

 

19． (本小题满分14分)

10个实习小组在显微镜下实测一块矩形蕊片，测得其长为29 μm，30 μm，31 μm的小组分别有3个，5个，2个，测得其宽为19 μm，20 μm, 21 μm的小组分别有3个，4个，3个，设测量中矩形蕊片的长与宽分别为随机变量ξ和η, 周长为μ .

(1)　  分别在下表中，填写随机变量ξ和η的分布律;

(2)　  求周长μ的分布律, 并列表表示；

(3)　  求周长μ的期望值.

20. (本小题满分14分)

设函数f ( x ) =  (a ÎN*), 又存在非零自然数m, 使得f (m ) = m , f (– m ) < –成立.

(1) 求函数f ( x )的表达式;

(2) 设{a_n}是各项非零的数列, 若对任意nÎN*成立, 求数列{a_n}的一个通项公式;

(4)　　在(2)的条件下, 数列{a_n}是否惟一确定? 请给出判断, 并予以证明.　

2006年杭州市第一次高考科目教学质量检测

数学参考评分标准（理科）

 

一. 选择题 （本大题共10小题, 每小题5分, 共50分）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	A	B	A	C	B	D	C	A	C	D

 

二．填空题: （本大题有4小题, 每小题4分, 共16分）

11. （–¥ ，3]　.　　　　　　　　　　  12 　　.

13. 　　　.　　　　 14.　0 < a £– 2　(或q < x £ p , 其中q > 0, p£– 2)　 .　　

三. 解答题: （本大题有6小题, 每小题14分，共84分)

15. (本小题满分14分)

　　

由(b + c)x ² –2ax + (b – c ) = 0有相等实根，　

得 ⊿= 4a ² – 4( b + c )(b – c) = 0，　　　　　　　　　　　　　　　  3分

即 a ² + c ² – b ² = 0 ，

 ∴ B = 90° .　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　3分

又sinCcosA – cosCsinA=0 ，

得 sin (C – A) = 0 . 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

∵–< C – A < ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

∴ A = C，　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　

　　∴△ABC是B为直角的等腰直角三角形.　　　　　　　　　　　　　 2分

16. (本小题满分14分)

 

　　由，得a > 0 , x > 0 .　　　　　　　　　　　　　　　　　  3 分

不等式化成： lg(2ax) < lg(10a + 10x)　　　　　　　　　　　　　　　  3分

得2ax < 10a + 10x

(a – 5)x < 5a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

当 0 < a < 5时， a – 5 < 0, 解得x >0,　　　　　　　　　　　　　　　 2分

当 a = 5时，不等式为0•x < 25, 得x > 0,　　　　　　　　　　　　　  2分

当 a > 5时， a – 5 > 0, 解得0 < x <.　　　　　　　　　　　　　　 2分

17．(本小题满分14分)

解1:　a - b ² = (sinx–cosx, -) ²　　　　　　　　　　　　 2分

= (sinx–cosx)² +　　　　　　　　　　　　　　　　  3 分

= sin²(x – ) +.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  3分

　　Œ 0 < x < ,  ∴–< x - < ,　　　　　　　　　　　　　　　  2分

 ∴ 0 £ sin²(C– ) < ,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  2分

得 a -b Î [, ).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  2分

解2:　a – b ² = a ² –  a·b + b ²　　　　　　　　　　 2分　

　　　 = sin²– sinxcosx + (cos²x +1)　　　　　　　　　　　　　  2分

=sin²–sinxcosx + cos²x +

= (cosx – sinx)² +　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2 分

= sin²(x – ) +.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  2分

　　Œ 0 < x < ,  ∴–< x - < ,　　　　　　　　　　　　　　　  2分

 ∴ 0 £ sin²(C– ) < ,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  2分

得a - b ² Î [, ).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

18 . (本小题满分14分)

　

　 解：

   (1) P(x) = R (x) – C (x) = – 10x³ + 45x² + 3240x – 5000　(xÎN且xÎ[1, 20]); 　2分

　 MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x² + 60x +3275　 (xÎN且xÎ[1, 20]). 　 2分

 (2) P`(x) = – 30x² + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12)　(xÎN且xÎ[1, 20])　　3分

　　　 当1< x < 12时, P`(x) > 0, P(x)单调递增,

　　　 当 12 <x < 20时, P`(x) < 0 , P ( x ) 单调递减.

　  ∴ x = 12 时, P(x)取最大值,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

　 即, 年建造12艘船时, 公司造船的年利润最大.　　　　　　　　　　　  1分

 (3) 由MP(x ) =  – 30( x – 1) ² + 3305　 (xÎN且xÎ[1, 20]).

　  ∴当1< x £ 20时，MP (x)单调递减.　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

 MP (x)是减函数说明: 随着产量的增加，每艘利润与前一台比较，利润在减少.1分

19． (本小题满分14分)

（1）

长度ξμm	29	30	31
P	0.3	0.5	0.2

 

宽度ημm	19	20	21
P	0.3	0.4	0.3

 

 

　　　　　　　　　　 4分

 

（2）P(ζ = 96) = 0.3´0.3 = 0.09;

P(ζ = 98) = 0.3´0.4 + 0.5´0.3 = 0.27;

P(ζ = 100) = 0.5´0.4 + 0.2´0.3 + 0.3´0.3 = 0.35;

P(ζ = 102) = 0.2´0.4 + 0.5´0.3 = 0.23;

P(ζ = 104) = 0.2´0.3 = 0.06.　　　

得，周长分布律如下表所示

周长μ μm	96	98	100	102	104
P	0.09	0.27	0.35	0.23	0.06

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　6分

（3）方法1（利用周长的分布计算）

 Eμ= 96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104×0.06=99.8　　　　　　　 4分

方法2（利用矩形长与宽的期望计算）

由长和宽的分布率可以算得

Eξ=29×P(ξ=29)+30×P(ξ=30)+31×P(ξ=31)

　 　　=29×0.3+30×0.5+31×0.2=29.9

Eη=19×P(η=19)+20×P(η=20)+21×P(η=21)

　 　　=19×0.3+20×0.4+21×0.3=20

由期望的性质可得

Eμ=2(Eξ+Eη)=2×(29.9+20)=99.8　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

20. (本小题满分14分)

(1) 由, 得　　　　　　　　 2分

由(1)得 m = ,

当a = 2时, m = 2, 满足(2)式;

当a = 3时, m = 1, 不满足(2)式, 舍去. 得f ( x ) =  ( x ¹ 1).　　　　　  3分

(2) 由条件得

∴ a_n(1 – a_n) = 2S_n　　(3)　,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  2分

令n = 1,得 a₁ = –1,  

又a_{n – 1} (1 – a_{n – 1} ) = 2S _{n – 1} ,　  ∴( a_n + a _{n – 1} )( a_n + 1 – a _{n – 1} )= 0,

由a_n – a _{n – 1} = – 1 , a₁ = –1,得{a_n}是首项为– 1, 公差为– 1的等差数列,

∴ a_n= – 1 + (n – 1 )( – 1)= – n .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

(3) 由(2)知,满足条件的数列不惟一.

　 考虑到a₁ ¹ 1, 由 a_n = – a _{n – 1} 及a_n – a _{n – 1} = – 1和a₁ = –1,

构造数列{ –1, –2, 2,–2, –3, – 4, … , – n +2, … }.　　　　　　　　　　　　　  2分

用数学归纳法证明,该数列满足(3)式,

当n = 1, 2, 3, 4, 5时,直接代入可得(3)式成立,

假设n = k ( k ³ 5)时,(3)成立, 则n = k + 1时,

S_k+1 =S _k + a _k+1 = a_k(1 – a_k) + a _{k + 1} = (–a _{k +1})(1 + a_k+1) + a _{k + 1} =a_k+1(1 – a _k+1).

　所以n = k + 1时(3)式成立, 即该数列满足题设条件.

　得满足条件的数列不惟一.　　　

构造数列也可能是:

{ –1, 1, –1, –2, –3, – 4, … , – n , … };

{ –1, –2,2, –2, 2, –2, … , (–1) ^{n – 1} 2 , … }( n > 1 )

{ –1, –2,2, –2, –3, – 4, … , – n , … }等等.