全国高中数学联赛模拟试题(二)

（命题人：江厚利　审题人：李潜）

第一试

一、选择题（每小题6分，共36分）

1、  已知集合，．若 ，则a的所有取值是

（A）－1，1　　　　　　　　　（B）－1，

（C）±1，2　　　　　　　　　（D）±1，－4，

2、  如图1，已知正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁，点M、N分别在AB₁、BC₁上，且AM＝BN．那么，

①AA₁⊥MN；

②A₁C₁∥MN；

③MN∥平面A₁B₁C₁D₁；

④MN与A₁C₁异面．

以上4个结论中，不正确的结论的个数为

（A）1　　　　　 （B）2　　　　　（C）3　　　　　（D）4

3、  用S_n与a_n分别表示区间内不含数字9的n位小数的和与个数．则的值为

（A）　　　　 （B）　　　　 （C）　　　　 （D）

4、  首位数字是1，且恰有两个数字相同的四位数共有

（A）216个　　　（B）252个　（C）324个　（D）432个

5、  对一切实数x，所有的二次函数（a＜b）的值均为非负实数．则的最大值是

（A）　　　　 （B）　　　　 （C）3　　　　　（D）2

6、  双曲线的一个焦点为F₁，顶点为A₁、A₂，P是双曲线上任意一点．则分别以线段PF₁、A₁A₂为直径的两圆一定

（A）相交　　　　　　　　　　　　（B）相切　　　　　　　　　　　

（C）相离　　　　　　　　　　　　（D）以上情况均有可能

二、填空题（每小题9分，共54分）

1、已知复数，．若△ABC的3个内角∠A、∠B、∠C依次成等差数列，且，则的取值范围是　　　　　　　  ．

2、点P(a,b)在第一象限内，过点P作一直线l，分别交x、y轴的正半轴于A、B两点．那么，PA²＋PB²取最小值时，直线l的斜率为　　　　 ．

3、若△ABC是钝角三角形，则arccos(sinA)＋arccos(sinB)＋arccos(sinC)的取值范围是　　　　　　　　　  ．

4、在正四面体ABCD中，点M、P分别是AD、CD的中点，点N、Q分别是△BCD、△ABC的中心．则直线MN于PQ的夹角的余弦值为　　  ．

5、在的展开式中，x的幂指数是整数的各项系数之和是　　　　．

6、集合A、B、C（不必两两相异）的并集A∪B∪C＝{1,2,3,…,n}．则满足条件的三元有序集合组(A,B,C)的个数是　　　　　　 ．

三、（20分）

设p＞0，当p变化时，C_p：y²＝2px为一族抛物线，直线l过原点且交C_p于原点和点A_p．又M为x轴上异于原点的任意点，直线MA_p交C_p于点A_p和B_p．求证：所有的点B_p在同一条直线上．

四、（20分）

对于公差为d(d≠0)的等差数列{a_n}，求证：数列中不同两项之和仍是这一数列中的一项的充要条件是存在整数m≥－1，使a₁＝md．

五、（20分）

求最大的正数，使得对任意实数a、b，均有

≤．

第二试

一、（50分）

如图2，⊙O切△ABC的边AB于点D，切边AC于点C，M是边BC上一点，AM交CD于点N．求证：M是BC中点的充要条件是ON⊥BC．

二、（50分）

求出能表示为（a、b、c∈Z₊）的所有正整数n．

三、（50分）

在一个（n≥2）的方格表的每个方格内填入1或－1，如果任意一格内的数都等于与它有公共边的那些方格内所填数的乘积，则称这种填法是“成功”的．求“成功”填法的总数．

参考答案

第一试

一、选择题：

题号	1	2	3	4	5	6
答案	D	B	D	D	A	B

二、填空题：

　 1、；　　　　　　　　　　 2、；

　 3、；　　　　　　　　　　　 4、；

　 5、；　　　　　　　　　　　 6、7ⁿ．

三、证略．

四、证略．

五、．

第二试

一、证略；

二、1,2,3,4,5,6,8,9．

三、1种（每空填1）．