综合练习（六）

2002.6　 班级：_________，姓名：______________，成绩：___________

一．选择题：（每小题5分，共5×12=60分）将正确答案填入下表中

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

1．设，，若，则a的取值范围是（　）

A．

B．

C．

D．

2．（理）设函数，与的图像分别记为、与，则　（　）

A．、、都相同

B．只有与相同

C．只有与相同

D．、、都不相同

（文）把函数的图象向左平移个单位，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得的图象解析式为，则（　）

A．

B．

C．

D．

3．已知，函数y=sinx在区间D内可能既有最大值又有最小值，则区间D可以是（　）

A．

B．

C．

D．

4．设O是矩形ABCD的边CD上一点，以直线CD为轴旋转这个矩形所得的圆柱体的体积为V，其中以OA为母线的圆锥的体积为，则以OB为母线的圆锥的体积等于（　）

A．

B．

C．

D．

5．将曲线C向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到曲线，若曲线的方程为，则曲线C的焦点坐标为（　）

A．

B．

C．

D．（3，2），

6．三个互不相等的实数a、1、b依次成等差数列，且、1、依次成等比数列，则的值是（　）

A．2

B．

C．2或

D．不确定

7．函数，则不等式的解集是（　）

A．

B．

C．（0，1）

D．

8．登山运动员共10人，要平均分为两组，其中熟悉道路的4人，每组都需分配到2人，那么不同的分组方法的种数是（　）

A．240

B．120

C．60

D．30

9．（理）直线和圆的位置关系是 （　）

A．相离

B．相切

C．相交

D．相离或相交

（文）过抛物线的焦点的弦AB两端点的横坐标分别是，，若+=6，则AB的长是（　）

A．10

B．8

C．7

D．6

10．如图，三棱台中，已知，，高为h，则四面体的体积为（　）

A．

B．

C．

D．

11．（理）已知和是方程的两根，则动点 (p，q)的轨迹图形是（　）

（文）若圆锥的母线长是定值，过圆锥顶点的截面为等腰三角形，设其顶角为，过顶点的最大截面的面积为S，则S=的图象是（　）

12．已知双曲线=1和椭圆的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是（　）

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．锐角或钝角三角形

二、填空题：（每小题4分，共分）

13．在长方体中，若，则与所成的角是__________。

14．当x=3时，不等式（a为常数，a>0且）成立，则不等式的解集是_____________________。

15．一串节日装饰彩灯，由20个灯泡串联而成，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏而使整串灯泡不亮的可能性总数为______________。

16．定义运算，则对复数，x>0），符合条件的点在复平面上所表示的曲线形状是____________。

三．解答题：（第17~21题每题12分，第22题14分，共74分）

17．（本小题满分12分）

设A是三角形的一个内角，且，求的值。

18．（本小题满分12分）

设数列是等差数列，，，数列是等比数列，，若，，且。

（1）求数列，的通项公式；

（2）当自然数n取何值时，？

19．（本小题满分12分）

如图：在棱长为a的正方体中，E，F分别为棱AB和BC的中点，EF交BD于H。

（1）求二面角的正切值；

（2）试在棱上找一点M，使⊥平面，并证明你的结论；

（3）求点到平面的距离。

20．（本小题满分12分）

某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元。

（1）该船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）？

（2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种。

①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；

②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出。

问哪一种方案较为合算？请说明理由。

21．（本小题满分12分）

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，MF的最大值和最小值的几何平均数为2。椭圆上存在着以y=x为轴的对称点和，且，试求椭圆的方程。

22．（本小题满分14分）

设函数（a、b为实数），

（1）若，且对任意实数均有成立，求F(x)的表达式；

（2）在（I）的条件下，当时，是单调函数，求实数k的取值范围；

（3）若f(x)是偶函数，试判断F(x)的奇偶性。

参考答案

一、选择题：每小题5分共60分

1．A　　2．（理）D （文）B　 3．D　 4．C　　5．B　　6．B　 7．B　 8．C

9．（理）A　（文）B　 10．A　 11．（理）C　（文）D　 12．B

二．填空题：每小题5分共60分

13．　　 14．　　15．　 16．抛物线

三．解答题：

17．∵

∴

∵A为三角形内角，∴ 即：

∴，

而

∴

18．（1）设，。

由

由前三式可得：，解得：或。

而，∴。

∴代入条件得，，。∴，。

（2），

令，∴即。

∵当时为增函数，而。

要使，只要使

由时，，检验n=4，5，…，可知n>4时，总成立。

19．（1）连AC，，则　∵，∴。

∵平面ABCD，∴ ∴为二面角的平面角，

在中，，，∴。

（2）在棱上取中点M，连，∵平面，∴。在正方形中，∵M，F分别为，BC的中点∴。

又∵。

∴，∴

（3）设与平面交于点N，则为点到平面的距离

在中，

∵，，

故点到平面的距离为a

20．解：（1）设捕捞n年后开始盈利，盈利为y元，则：

由y>0，得

∴

∴∴n=3

即捕捞3年后，开始盈利。

（2）①平均盈利为

当且仅当即n=7时，年平均利润最大

∴经过7年捕捞后年平均利润最大，共盈利为万元

②∵

∴当n=10时，y的最大值为102，

即经过10年捕捞盈利额最大，共盈利102+8=110万元，

故两种方案获利相等，但方案②的时间长，所以方案①合算。

21．解：，，则

∴

设椭圆方程为：　①

设过和的直线方程为：　②

将②代入①得：　③

设，，的中点为

则

代入y=x得，由于，∴m=0

∴由③知：，

又

∴，解得：，

所求椭圆方程为：。

22．（1）∵∴b=a+1。

由恒成立，知，

∴a=1，从而。

∴

（2）由（1）知，，∴

由在上是单调函数，知：或

∴得或。

（3）∵f(x)为偶数，∴，而a>0

∴f(x)在是增函数。

对于F(x)，当x>0时，，

，

当x<0时，，

。

∴F(x)是奇函数，且F(x)在上是增函数。