高三第一学期期中练习
数学
2002.11
学校________班级________姓名_______
一、选择题：选择题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={xx+1>0}，集合
则A∪B等于（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）{x x>-1}
2．在数列
中，
，
，则
等于（ ）
（A）
（B）10
（C）13 （D）19
3．已知复数z满足
，那么复数z的模z等于（ ）
（A）
（B）5
（C）2
（D）
4．已知函数
，那么
的值为（ ）
（A）9
（B）
（C）-9
（D）
5．已知函数
，那么它的反函数
的图象大致是（ ）
6．若a，b∈R，则
成立的一个充分必要条件是（ ）
（A）a>b>0 （B）b>a
（C）a<b<0 （D）ab(a-b)<0
7．若关于x的不等式
，对任意x∈[0，1]恒成立，则（ ）
（A）m≤-3 （B）m≥-3
（C）-3≤m≤0 （D）m≥-4
8．2名语文教师2名数学教师分别担任某年级4个班的语文、数学课，每人承担两个班课，不同的任课方法有（ ）
（A）36种 （B）12种
（C）18种 （D）24种
9．定义域是R的函数f（x）中，对任意两个互不相等的实数a、b总有
成立，那么一定有（ ）
（A）f(x)在R上是增函数 （B）f(x)在R轴上是减函数
（C）f(x)是奇函数 （D）f(x)是偶函数
10．设
，对所有实数x均满足xf(x)≤g(x)，那么函数g(x)可以是（ ）
（A）g(x)=sinx （B）g(x)=x
（C）
（D）g(x)=x
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
11．若函数
，则不等式
的解集是_______________。
12．当x∈[0，3]时，函数
的最大值是________________。
13．若无穷等比数列的前n项和为
，其各项和为S。又
，则数列的公比为________________。
14．有以下四个命题：
①函数
与函数
的定义域相同；
②函数
与
的值域相同；
③函数
与
在（0，+∞）上都是增函数；
④函数
与
在其定义域内均是奇函数；
其中正确命题的题号为__________________-。
三、解答题：本大题共6个小题，共84分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分12分）
解不等式
16．（本题满分12分）
设z是复数，试解方程
。
17．（本小题满分14分）
在数列中，
，
其中表示数列的前n项和。
（Ⅰ）分别求
，
，
的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式
的表达式，并予以证明。
18．（本小题满分16分）
甲、乙两人连续6年对某农村养鸡业的规模进行调查，提供出以下两个不同的信息图及表。甲调查表明：每个养鸡场出产的鸡从第1年1万只上升到第6年2万只。（如表）
| 年 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 鸡场养鸡平均只数 | 1．0万 | 1．2万 | 1．4万 | 1．6万 | 1．8万 | 2．0万 |
乙调查表明：（如右图所示）
养鸡场由第一年30个减少到第六年10个。
请你根据这两组信息解答以下问题：
（Ⅰ）求第2年养鸡场的个数及第2年全县出产鸡的总只数；
（Ⅱ）问：到第6年这个县的养鸡总只数比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由。
（Ⅲ）求哪一年该县的养鸡总只数规模最大，哪一年规模最小？说明理由。
19．（本小题满分14分）
设二次函数
。若f(x)=0有两个实数根
，
。
（Ⅰ）求正实数c的取值范围；
（Ⅱ）求
的取值范围；
（Ⅲ）如果存在一个实数m，使得f(m)<0，证实：
。
20．（本小题满分16分）
已知函数
及数列。
使得2，
，
，…，
，2n+4构成等差数列（n=1,2,…）。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列的前n项和为，当0<a<1时，求
；
（Ⅲ）若
，当a>1时，试比较
与
的大小。
高三数学第一学期期中练习参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共50分）
1C 2C 3A 4B 5A 6D 7A 8A 9A 10D
二、填空题
11．（-1，0）∪（1，+∞）
12．4
13．
14．①，④
三、解答题
15．（本小题满分12分）
解：原不等式可以化成：
或
………………………………………………2分
等价于
或
……………………………………………………8分
或
所以
或
…………………………………………………………10分
原不等式的解集为（-∞，0]∪[
，3）………………………………………12分
16．（本小题满分12分）
解：设z=x=yi，其中x，y∈R……………………………………………………2分
则
原方程可以化成：
(x+yi)(x-yi)-3i(x-yi)=1+3i
………………………………………………6分
……………………………………………………………………8分
或
………………………………………………10分
故
，
……………………………………………………12分
17．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）
………………………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想数列的通项公式
……………………5分
以下用数学归纳法证明：①n=1时，，命题成立；
②假设n=k（k≥1)时成立，即
成立………………7分
由已知
推得：
成立……………………………………………………………………………………9分
那么，当n=k+1时，
则n=k+1时，也成立。……………………………………14分
综上可知，对任意n∈N，成立。
18．（本小题满分16分）
解：（Ⅰ）由图象可知：该县第2年养鸡场有26个，由表可知：该年平均每个养鸡场出产1.2万只鸡，所以全县共出产1.2×26=31.2（万只鸡）………………2分
（Ⅱ）依图、表可知：第1年全县产鸡1×30=30（万只）
第6年全县产鸡2×10=20（万只）
因此到第6年全县养鸡总只数比第1年缩小了……………6分
（Ⅲ）依图、表可知：第1年到第6年，每年养鸡场的个数构成首项为30，公差为-4的等差数列，因此第n年养鸡场的个数是：
（n=1，2，…，6）………………………………………………8分
又从第1年到第6年，每个养鸡场养鸡平均只数构成首项为1，公差为0.2的等差数列，因此第n年每个养鸡场平均养鸡只数是：
（n=1，2，…，6）…………10分
因此第n 年全县养鸡的总只数
（n=1，2，…，6）………………14分
可知：当n=2时，即第2年全县养鸡为31.2万只，规模最大。………………15分
显然：
，故第6年全县养鸡规模最小。……………………16分
（本题也可以根据已知数据逐年算得。）
19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由
有两个实数根，
（
）及c>0得
可知：
……………………………………………2分
（Ⅱ）依根与系数的关系，得：
………………………………4分
又
，所以，
∴
……………………8分
∴故
（0，1）
（Ⅲ）证：∵f(m)<0且抛物线
的开口向上
∴
……………………………………………………………………10分
可知：
而
………………………………14分
20．（本小题满分16分）
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d
则2n+4=2+[(n+2)-1]·d ∴d=2……………………………………………2分
故
……………………………………4分
即
∴
（a>0且 a≠1）……………………………………6分
（Ⅱ）∵a≠1
∴
………………………………8分
∵
（当0<a<1时）
∴
………………………………………………………………10分
（Ⅲ）
∴
………………………………13分
这是因为a>1且
的缘故
故
………………………………………………………………………………16分
（本问利用作差法证明亦可）
囿于篇幅，本答案只写出一种解法，卷面上如有其它解法，请相应给分。