2002年陕西省高三教学质量检测试题（一）
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至8页。满分150分，考试时间120分钟。
| 题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 | |||||
| （17） | （18） | （19） | （20） | （21） | （22） | ||||
| 得分 | |||||||||
参考公式：
（1）三角函数的和差化积公式
（2）正棱台、圆台的侧面积公式
其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜面高或母线长。
（3）台体的体积公式
其中S′、S分别表示上、下底面积，h是高。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
1．在第Ⅰ卷的密封线内填写地（市）、县（市）、学校、班级、姓名、学号（或考号）。
2．将第Ⅰ卷的答案填写在下面表格内。
| 题号 | (1) | (2) | (3) | (4) | (5) | (6) | (7) | (8) | (9) | (10) | (11) | (12) |
| 答案 |
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）如图1，I是全集，
，
，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）过点P（1，2）的直线交圆
于两点A、B，若点P是弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程是（ ）
A．2x+y+3=0 B．2x-y-3=0 C．x+2y-4=0 D．x-2y+3=0
（3）空间四条直线a、b、c、d，其中a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么a与b，c与d这两对（ ）
A．都平行 B．都不平行 C．至少有一对平行 D．至多有一对平行
（4）设函数
，则其反函数的图象为（ ）
（5）等差数列
中，
，
，
，则n为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
（6）（理）在极坐标系中，曲线
与直线
之间的位置关系为（
）
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能
（文）已知∈（0，2π），使sinα+cosα<0的角α的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
（7）有如下四个命题：
①若函数
的周期为2π，则k=1；
②函数
是偶函数；
③函数
在
上是增函数；
④函数
的最大值是2。
其中，正确命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
（8）抛物线
上一点M到焦点的距离是3，那么M到y轴的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（9）如图2，将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，E是BC的中点，异面直线AB与DE所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
（10）若
存在，则实数x的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
（11）有一圆形铁皮，欲制作等长母线的两个无底圆锥形容器，要求两个容器的侧面正好用完铁皮，且侧面面积之比为1：2，则这两个容器的高之比为（ ）
A．2：1 B．8：5
C．
D．
（12）某校准备召开高中毕业生代表会，把6个代表名额分配给高三年级的3个班，每班至少一个名额，不同的分配方案共有（ ）
A．7 B．9 C．10 D．12
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
（13）离心率为
，一条准线为x=-4的椭圆的标准方程是____________。
（14）如果n为偶数，且
，则
的展开式中的常数项为____________。
（15）如图3，已知正方体
是棱长为a的正方体，E、F分别是棱
和
的中点，则四棱锥
的体积为_____________。
（16）已知
，
，则方程f[g(x)]+3g[f(x)]=-2的解为___________。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程式演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
设
、
是两个非零复数，且满足
，
（Ⅰ）求
的辐角主值；
（Ⅱ）如果、对应的点分别为A、B，求
的面积。
（18）（本小题满分12分）
已知n是大于1的自数，函数
，
（Ⅰ）试判断函数f(n)的增减性；
（Ⅱ）若不等式
恒成立，求满足条件的最大的正整数m。
（19）（本小题满分12分）
已知如图4，四棱锥P-ABCD，它的底面是边长为a的菱形，且∠ABC=120°，又PC⊥平面ABCD，PC=a，E为PA的中点。
（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求点E到平面PBC的距离；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的正切值。
（20）（本小题满分12分）
我省某县位于沙漠边缘地带，为了早日实现沙漠变绿洲，到1998年年底全县的绿化率已达30%。从1999年开始，每年将出现这样的局面，原有沙漠面积的16%被栽上树改造为绿洲，同时，原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠。
（Ⅰ）设全县面积为单位1，1998年年底绿洲面积为
，经过一年绿洲面积为
，经过n年绿洲面积为
，求证
；
（Ⅱ）今年（2002）年底全县的绿洲面积能否超过60%。
（21）（本小题满分12分）
已知函数
、
，设F(x)=f(x)+g(x)，如果f(x)、g(x)的图象都经过（1，1）点，且
。
（Ⅰ）求F(x)的解析式；
（Ⅱ）设正项数列的前n项和为
，且
，计算
、、
的值，由此猜想
的表达式，并用数学归纳法证明。
（22）（本小题满分14分）
已知如图5，椭圆
的方程为
，其两焦点为
、
，双曲线
的渐近线方程为
，且以、为焦点。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设P为上一点，过P的直线l交的渐近线于
、
，且
，求
的面积。
参考答案：
一、选择题
| 题号 | (1) | (2) | (3) | (4) | (5) | (6) | (7) | (8) | (9) | (10) | (11) | (12) | |
| 答案 | B | D | C | C | C | 理 | 文 | D | A | B | B | C | C |
| A | C | ||||||||||||
二、填空题
（13）
（14）20 （15）
（16）1
三、解答题（解答题只给出一种解法的评分标准，各题的其它正确解法可参照相应试题所给解法的评分标准赋分）
（17）解：（Ⅰ）∵，
∴
。………………………………………………（2分）
∴
。…………………………………（4分）
故
或
。……………………………………………（6分）
（Ⅱ）由
，可得
…………（8分）
∴
∴
。……………………………………（9分）
由（Ⅰ）知
…………………………（10分）
∴
（18）解：（Ⅰ）∵，（n>1的自然数）
∴
………………（2分）
∴
…………………………（4分）
∴f(n)是关于自然数n(n>1)的增函数。………………（5分）
（Ⅱ）要使，对大于1的自然数n恒成立。
即
恒成立。…………………………（7分）
只须f(n)的最小值大于
即可 ∴
……………………（9分）
即 
∴m<14。…………………………（11分）
故满足条件的最大正整数m=13……………………………（12分）
19．（Ⅰ）证明：连结AC交BD于点O，连结OE，则O是AC的中点。又知E是AP中点
∴
………………………………（2分）
∵PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD。又知 
平面BDE，
∴平面EBD⊥平面ABCD。………………（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知OE//PC，则OE//平面PBC。
∴点E到平面PBC的距离等于点O到平面PBC的距离
∴过O作OF⊥BC交BC于F，
∴OF即为所求………………………………（6分）
∵四边形ABCD是菱形，边长为a，∠ABC=120°
∴∠CBD=60°DB=BC=a，∴
，
∴
。…………………………（8分）
故点E到平面PBC的距离为
。
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，OE⊥OA，OA⊥BD
∴OA⊥平面BDE。
过O作OG⊥BE，垂足为G，连结AG，则∠AGO为二面角A-BE-D的
平面角…………10（分）
∵PC=a ∴
，
∴Rt△BOE为等腰直角三角形
∴
，
又知 
∴Rt△AOG中，
。
∴所求二面角A-BE-D的正切值为
。……………………（12分）
（20）（Ⅰ）证明：∵第n年年底绿洲面积为，
∴第n年年底的沙漠面积为
…………………………（1分）
根据题意，经过n年（即第n+1年）的绿洲面积
……………………………（3分）
即 …………………………………………（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知从98年到2002年底，经过4年改造，绿洲面积
…………………………………………………（7分）
∴
…………………………（9分）
即
…………………………（11分）
∴2002年年底全县的绿洲面积还不能超过60%……………………（12分）
（21）解：（Ⅰ）∵，
的图象都经过（1，1）点，∴a=1，b=1
∴
，
…………………………（2分）
又 ，∴
。
即 
∴
或
从而n=1，n=-1（舍去）
故
…………………………（4分）
（Ⅱ）由得
当n=1时，
，∴
…………………………（5分）
当n=2时，
∴
∴
………………………………（6分）
当n=3时，
∴
∴
…………………………（7分）
据此推测 
………………………………………（9分）
以下用数学归纳法证明：
①当n=1时，结论显然成立。
②假设当n=k时，结论成立。即
∴
…………（*）……………………（10分）
则当n=k+1时，
∴
代入（*）得
∴
即 当n=k+1时结论也成立
综上可知，对n∈N的一切自然数结论成立 …………………………（12分）
（22）解：（Ⅰ）由
知，
，
，………………（2分）
∴
∵的渐近线为，
故可设其方程为
（λ>0）…………………………（4分）
又∵椭圆与双曲线共焦点 ∴
故的方程为
即
……………………（6分）
（Ⅱ）设l与
交于
，与
交于
∵
，由定比分点坐标公式，得
由P在双曲线上知，
………………（8分）
∴
即
…………………（10分）
又
，
，而
……………………（12分）
∴
…………………………（14分）