2002年武汉市部分学校高中三年级调研测试

数学试题

2002.5.23～24

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。考试时间120分钟。

试题中注明文科做的，理科考生不做；注明理科做的，文科考生不做；未作注明的，文理科考生都做。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

注意事项：

1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目、准考证号用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3、考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）若非负整数则n=

（A）0　（B）1

（C）2　（D）3

（2）在正方体中，直线AC与所成的角是

（A）90°　（B）60°

（C）45°　（D）30°

（3）[文科做]下列函数中，以π为周期且在区间（0，）上为增函数的函数是

（A）　 （B）y=-tgx

（C）y=sin2x　　 （D）y=-cos2x

[理科做]在极坐标系中，已知圆ρ=2sinθ上一点P的极角为，则点P的极径为

（A）　（B）

（C）　（D）

（4）设α，β都是第二象限的角，且sinα<sinβ，则

（A）tgα<tgβ　（B）cosα<cosβ

（C）　（D）

（5）已知△ABC的三边a，b，c满足，则△ABC是

（A）锐角三角形　（B）直角三角形

（C）最大角大于120°的钝角三角形

（D）最大角小于120°的钝角三角形

（6）设A是抛物线上一点，B是点A关于x轴的对称点。若抛物线的焦点F为△AOB的垂心，则点A的横坐标为

（A）　　（B）

（C）　　（D）

（7）线段、分别是已知椭圆的长轴和短轴，是椭圆的一个焦点，若该椭圆的离心离为，则

（A）30°　（B）45°

（C）120°　（D）90°

（8）如图，在三棱台A′B′C′-ABC中，已知上、下底面的面积分别是1和9，高是3，则

（A）5　（B）4

（C）3　（D）2

（9）方程的两个根都是虚根，且两根的模的和为2，则实数m=

（A）　（B）2

（C） （D）±2

（10）一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，若车速为v千米/时，则两车的距离不能小于千米，运完这批物资至少需要

（A）10小时　（B）11小时

（C）13小时　（D）12小时

（11）若是方程的解，则

（A）（0.1,0.2）　（B）（0.3,0.4）

（C）（0.5,0.7）　（D）（0.9,1）

（12）用记号“”表示求两个实数a与b的算术平均数的运算，即。已知数列满足，，，则

（A）0　　（B）

（C）　 （D）1

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

注意事项

1、第Ⅱ卷3—6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。

2、答题前，将密封线内的项目填写清楚。

3、考试结束后，监考人将第Ⅱ卷密封装订成册。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

（13）圆台的轴截面的面积等于，母线与底面所成的角为30°，则圆台有侧面积等于________。

（14）设抛物线的一条弦AB以点P（1，1）为中点，则该弦所在直线的斜率为___________。

（15）已知z=1，当arg（z-2i）取得最大值时所对应的复数z=_______。

（16）有A、B、C三台不同型号的数控车床，甲、乙、丙、丁四名操作员，其中甲、乙会操作这三种车床，丙不能操作车床C，丁只会操作车床A。今从四人中选三人分别去操作以上车床，不同的选派方案共有__________种。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

设数列是公差不为0的等差数列，且，。

（Ⅰ）试求出这个数列的通项；

（Ⅱ）将前n项的和表示成关于的函数。

（18）（本小题满分12分）

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，）的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（，2）和（，-2）。

（Ⅰ）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）若，，求的值。

（19）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，高PA=3，E、F分别为AB、PD的中点。

（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；

（Ⅱ）求平面PAD和平面PCE所成角的正切值。

（20）（本小题满分12分）

设定义在实数集R上的函数，，f（x）满足，且对区间D上的任意两相异实数，，恒有。

（Ⅰ）若是区间D上的增函数，能否确定y=f（x）是区间D上的增函数？

（Ⅱ）若是区间D上的增函数，能否确定y=f（x）是区间D上的增函数？

在上述两问中，如果能够确定，请给出证明；否则，请举一反例。

（21）（本小题满分12分）

某进口产品，2001年的关税税率是100%，进口上岸价格是2000元（其中含1000元关税税款）。假如这种产品不含关税的价格因成本减少而按每年10%逐年降低，又因中国加入世贸组织后，该产品的关税税率将每年降低25%，一直到2005年降到0为止。

（Ⅰ）至少到哪一年，这种产品的进口上岸价格将不高于2001年进口上岸价格的一半？

（Ⅱ）在2011年，这种产品进口上岸价格是否可以不超过360元？

（22）（本小题满分14分）

设双曲线C的方程为，、是该双曲线的两焦点。

（Ⅰ）记平面上一点P到双曲线实轴、虚轴和右焦点的距离分别为P（x）、P（y）和。问在双曲线C的右支上是否存在一点P，使P（x）是P（y）和的等比中项。如果存在，试求出点P的横坐标：如果不存在，请说明理由；

（Ⅱ）若Q是曲线C上任一点，从左焦点引的平分线的垂线，垂足为M。试求点M的轨迹方程。

2002年武汉市部分学校高中三年级调研测试

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：每小题5分，满分60分

（1）B　（2）B　（3）D　（4）B　（5）C　（6）A

（7）D　（8）C　（9）A　（10）D （11）C （12）C

二、填空题：每小题4分，满分16分

（13）20π　（14）2　（15）　（16）8

三、解答题：共6小题，满分74分

（17）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵的公差不为0，∴，

∴，∴

由，得d=-2，……………………3分

又由，得. ……………………5分

∴，

即　……………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，　…………9分

∴，

即.……………………12分

（18）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由已知条件，得A=2。………………2分

，解得T=4π，∴。………………4分

把（0，1）代入解析式，得

2sinφ=1，又，解得。………………6分

∴即为所求。…………………7分

（Ⅱ）由，，得

，………………10分

∴。…………12分

（19）（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）取PC的中点G，

连结FG，EG，…………2分

∵，，∴，

∴四边形AEGF是平行四边形。

∴AF∥EG。 …………4分

又，，

∴AF∥平面PCE。………………6分

解：（Ⅱ）延长DA、CE相交于M，则PM是所求二面角的棱

过点A作AT⊥PM于T，连ET，………………8分

∵EA⊥AD，EA⊥PA，∴EA⊥平面PAD。

根根三垂线定理ET⊥PM，

∴∠ETA是所求二面角的平面角。………………10分

注意到EA=2，AM=AD=4，

.

∴

即所求二面角的正切值为.…………12分

（20）（本小题满份12分）

解：（Ⅰ）能够确定。证明如下：………………1分

∵是区间D上的增函数，

∴对任意的，，若，恒有

又

∴，……………………4分

∴

即

∴y=f（x）是区间D上的增函数。……………………7分

（Ⅱ）不能确定。……………………8分

令是R上的增函数，对任意的两实数，，

满足，

但在R上是减函数。……………………12分

（21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）已知第一年即2001年的进口上岸价格为2000元，则第n年的进口上岸价格为

…………4分

由此知，，。

注意到随n的增加而减少，

故至少到2004年，这种产品的进口上岸价格将不高于2001年进口上岸价格的一半。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  …………6分

（Ⅱ）[解法1]首先注意到，当5≤k≤9时，

.…………9分

∴，

∴.

故在2011年，这种产品的进口上岸价格不超过360元。………………12分

[解法2]假设在2011年这种产品的进口上岸价格可以超过360元，

则，

即，

亦即，

∴，

即，

∴.矛盾。

故在2011年这种产品的进口上岸价格不超过360元。……………………12分

（22）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）设双曲线右支上的点满足题设要求。因为双曲线右准线方程为，离心率为e=2。根据双曲线的准线性质

.……………………4分

又，.

根据题设要求，得，

整理得，

解之，。

即所求的点P存在，其横坐标为.……………………7分

（Ⅱ）若Q在双曲线的右支上，则延长到T，使；

若Q在双曲线的左支上，则在上取一点T，使。

根据双曲线的定义，所以点T在以为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是

　　① ………………………………11分

由于点M是线段的中点，设M（x，y），，

则　即

代入①并整理得点M的轨迹方程为

.……………………14分